Morley trigonométrico

Introducción

Las líneas de puntos de la figura siguiente son trisectores interiores y exteriores de los ángulos del triángulo ABC. Por el teorema de Morley, esas líneas se cortan en vértices de triángulos equiláteros.

Además el lado de un triángulo equilátero de la figura es igual a ocho veces el radio de la circunferencia circunscrita a ABC multiplicado por el producto de los senos de los tres ángulos sombreados que contienen a ese triángulo equilátero, tocándolo en dos vértices.
(El seno de un ángulo sombreado en azul es igual al seno del ángulo rojo adyacente.)

Damos aquí una demostración elemental y directa de esos hechos a partir del teorema del seno, el teorema del coseno y la identidad trigonométrica:
            \sin 3\alpha = 4 \cdot \sin \alpha  \cdot \sin \alpha^{ \prime} \cdot  \sin \alpha^{ \prime \prime},
donde usamos la notación x^{\prime} = x+60^{\circ}, x^{\prime \prime} = x+120^{\circ}.

También usaremos la notación [xyz] para la expresión 8R \sin x \sin y \sin z, donde R es el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC.

Trisectores interiores


Sea en la figura \angle BAC = 3\alpha , \angle ABC = 3\beta, \angle ACB = 3\gamma.
Como \alpha + \beta + \gamma = 60^{\circ},    \angle BDC= \alpha '', \angle AFC= \beta '' y \angle AEB = \gamma ''.

Por el teorema del seno, BC=2R\sin 3\alpha, lo que, usando la identidad anterior, nos da BC= [\alpha \alpha ' \alpha '' ].
De la misma forma, AB=[\gamma \gamma ' \gamma '']   y AC = [ \beta \beta ' \beta ''].

Aplicando el teorema del seno al triángulo BDC, del que conocemos los 3 ángulos y el lado BC, tenemos \dfrac{[ \alpha \alpha ' \alpha '']}{\sin \alpha ''} = \dfrac{BD}{\sin \gamma } = \dfrac{CD}{\sin \beta}, y por tanto BD = [\alpha \alpha ' \gamma],   CD= [\alpha \alpha ' \beta].

Permutando letras tenemos los valores de los demás segmentos verdes de la figura.

Ahora podemos obtener el valor de ED, por ejemplo, aplicando el teorema del coseno al triángulo BED:       ED^2 = [\alpha \alpha ' \gamma ]^2 + [\alpha \gamma  \gamma ' ]^2 - 2 [\alpha \alpha ' \gamma ] [\alpha \gamma  \gamma ' ] \cos \beta.
Es decir,   ED^2 = (8R \sin \alpha \sin \gamma )^2  ( \sin^2 \alpha^{\prime}  + \sin^2 \gamma^{\prime} - 2 \sin \alpha^{\prime} \sin \gamma^{\prime} \cos \beta ).

Por el teorema del seno, los senos son proporcionales a los lados opuestos y entonces de la fórmula del teorema del coseno resulta que si x+y+z = 180^{\circ},   \sin^2 x + \sin^2 y - 2 \sin x \sin y \cos z = \sin^2 z.

Entonces ED^2 = (8R \sin \alpha \sin \gamma )^2 \sin^2 \beta y ED =  [\alpha \beta \gamma], que, como es una expresión simétrica en \alpha, \beta, \gamma, es igual a EF y DF.
Por tanto el triángulo DEF es equilátero, sus ángulos valen 60^{\circ} y sus lados 8R \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma.

Para obtener los ángulos restantes, aplicamos el teorema del seno al triángulo BED, por ejemplo, del que conocemos los lados y el ángulo \angle EBD, y obtenemos \angle BDE = \gamma^{\prime}, \angle BED = \alpha^{\prime}.
Permutando letras tenemos los demás ángulos.

Quedan así determinados todos los ángulos y segmentos de la figura.

Trisectores exteriores

Procedemos de la misma forma con los trisectores exteriores.
Si el ángulo entre los trisectores interiores de un triángulo es x, el ángulo entre los trisectores exteriores es 60^{\circ} - x o, en nuestra notación, -x'.
Observamos que \sin -x' = \sin x'' y \sin -x'' = \sin x'.

En el triángulo BCJ,   \angle CBJ=-\beta^{\prime}, \angle BCJ=-\gamma^{\prime}, luego \angle BJC = -\alpha ''.
Entonces, por el teorema del seno, BJ = [\alpha \alpha '' \gamma '' ] y CJ = [\alpha \alpha '' \beta '' ], y permutando letras tenemos los valores de los segmentos verdes.

El ángulo LBJ = 3\beta + -\beta^{\prime} + -\beta^{\prime} = \beta ''.
En \triangle LBJ, conocemos BJ=[\alpha \alpha '' \gamma '' ], BL=[\gamma \gamma ''  \alpha '' ] y \angle LBJ = \beta ''.
Por el teorema del coseno, como \beta '' + \alpha + \gamma = 180^{\circ}, LJ=[\alpha '' \beta '' \gamma '' ], que, por simetría, es igual a LK y JK.

Para obtener los ángulos restantes, aplicamos el teorema del seno al triángulo LBJ, por ejemplo, del que conocemos los lados y el ángulo \angle LBJ, y obtenemos \angle BLJ = \alpha, \angle BJL = \gamma.
Permutando letras tenemos los demás ángulos.

Trisectores exteriores de dos ángulos e interiores de otro

Hemos visto en el apartado anterior que BJ=[\alpha \alpha '' \gamma '' ], y CJ=[\alpha \alpha ''  \beta '' ].
\angle ABR = \beta '' y, aplicando el teorema del seno a \triangle ABR, tenemos BR=[\gamma ' \gamma ''  \alpha  ], AR=  [\gamma ' \gamma ''  \beta ''  ].
Simétricamente CQ=[\beta ' \beta ''  \alpha  ], AQ=  [\beta ' \beta ''  \gamma ''  ].
Aplicando el teorema del coseno a \triangle ARQ, tenemos RQ= [\alpha \beta '' \gamma ''], porque \alpha+\beta^{\prime} + \gamma^{\prime} = 180^{\circ}.
Y aplicando el teorema del coseno a \triangle BJR, como \sin \alpha '' = \sin -\alpha^{\prime} y \sin \gamma^{\prime}  = \sin -\gamma '' y -\alpha^{\prime} + -\gamma '' + -\beta^{\prime} = 180^{\circ}, resulta que JR = [ \alpha -\!\!\beta^{\prime} \gamma ''] = [ \alpha \beta '' \gamma ''], porque \sin -\beta^{\prime} = \sin \beta ''.
Simétricamente JQ = [ \alpha \beta '' \gamma ''], y \triangle JRQ es equilátero.
Finalmente, usando el teorema del seno en \triangle BJR, tenemos \angle BJR= -\gamma '', \angle ARJ = \beta.

Paralelismo de los triángulos de Morley

Ha quedado demostrado que los lados de los triángulos equiláteros de la figura siguiente son:
EF = 8 R \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma , \qquad \  \  \  LK = 8 R \sin \alpha '' \sin \beta '' \sin \gamma '',
NM = 8 R \sin \alpha '' \sin \beta '' \sin \gamma , \qquad OP = 8 R \sin \alpha '' \sin \beta \sin \gamma '',
RQ = 8 R \sin \alpha  \sin \beta '' \sin \gamma '' , \qquad \text{ con  } x'' = x+120^{\circ}.
Queda por demostrar que los lados de esos triángulos equiláteros son paralelos:

\angle AEF = \angle ARQ = \beta^{\prime} , y por tanto \triangle EFD, \triangle RQJ tienen los lados paralelos, que por simetría serán paralelos a los de \triangle NLM, \triangle KPO.
\angle KLR= \alpha^{\prime} y \angle LRQ = \beta^{\prime} + \gamma, suplementario de \alpha^{\prime}, y por tanto LK, RQ son paralelas y los lados de \triangle LKJ son paralelos a los de los demás triángulos equiláteros.
Como \angle RLQ = \angle RAQ = \angle RKQ= \alpha, los puntos A,K,Q,R,L son concíclicos, y lo mismo sucede con los puntos B,L,O,P,J   y   C,J,N,M,K.


Esta entrada participa en la Edición 4.1231 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog Matemáticas interactivas y manipulativas.

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