Neusis desde circunferencia a cuerda

Dado un punto en una circunferencia y una cuerda, trazar una recta por el punto de tal forma que el segmento entre la cuerda o su prolongación y el otro punto de intersección de la recta con la circunferencia tenga una longitud dada.

Este es un caso neusis, que aparece en la trisección del ángulo del Libro de los Lemas, donde la longitud dada es el radio de la circunferencia y la cuerda un diámetro, y en algunas proposiciones del tratado “Sobre las líneas espirales” de Arquímedes.

Como demostró Pappus en su Colección matemática, el punto de intersección de la cuerda con la recta a construir se puede obtener a partir de la intersección de una parábola y una hipérbola equilátera.
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La parábola
En la siguiente figura, la circunferencia azul, de radio igual al segmento rojo, corta a la circunferencia fija en un punto. La recta entre el punto azul y ese punto corta a la circunferencia fija en otro punto, que determina, mediante la circunferencia roja, el punto verde en la perpendicular a la cuerda por el punto azul.
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El lugar geómetrico del punto verde al desplazar el azul es una parábola.

Si designamos c=OC, x=OG, k=HG, y=GM=GJ, como, por Euc.III.36, GH\cdot GJ = GB\cdot GC, tenemos que ky=x^2 - c^2, y el punto M=(x,y) describe una parábola.

La parábola pasa por B y C, las coordenadas de su vértice son (0,-c^2/k), y su lado recto es k, es decir su foco y dirctriz están a una distancia igual a k/4 del vértice.

La hipérbola
Sea un punto fijo en el plano y un punto que se desplaza sobre una recta, y que es el centro de una circunferencia que pasa por el punto fijo.

Los extremos del diámetro perpendicular a la recta por la que se mueve el centro de la circunferencia están en una hipérbola equilátera.

El punto fijo es un vértice de la hipérbola, y la asíntotas forman ángulos de 45º con la recta por la que se mueve el centro de la circunferencia.

En la siguiente figura GeoGebra colocamos ejes de coordenadas con centro en el punto verde. Las coordenadas del punto fijo son entonces (0,c).
Considerando el triángulo rectángulo formado por los puntos verdes y azules, tenemos y^2 = x^2 + c^2, que es la ecuación de una hipérbola equilátera con centro en el origen, vértice en (0,c) y con asíntototas que son las bisectrices de los ejes de coordenadas.

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