Neusis mediante hipérbola

Introducción

Neusis es el nombre dado por los antiguos griegos a la operación de trazar una recta que pase por un punto dado y tal que dos lineas dadas corten en la recta un segmento de longitud dada.
En el libro IV de su Colección Matemática, Pappus de Alejandría muestra que cuando las líneas, entre las que ha de quedar el segmento de longitud dada, son rectas, la neusis se puede realizar mediante la intersección de una hipérbola y una circunferencia (de radio igual a la longitud dada).

Construcción


[Java no funciona. Imagen de sustitución:]
(Pulsando el botón ‘siguiente’ en la figura)

(1) Son dadas las dos rectas y el punto por que ha de pasar la recta solución.
(2) Trazamos por ese punto paralelas a las rectas dadas.
(3) Por el punto de intersección D, trazamos la hipérbola cuyas asíntotas son la recta dada que no pasa por D y la paralela a la otra por A.
(4) Con centro D trazamos una circunferencia de radio igual a la longitud dada.
(5) Por la intersección H de la hipérbola y la circunferencia trazamos una paralela a la dada por D que corta a la otra en Z
(6) Trazamos AZ. El segmento EZ cortado entre las rectas dadas es igual al radio de la circunferencia.

Demostración


Como D y H son dos puntos de la hipérbola, y BZ,BA sus asíntotas, por Apolonio II.12 BC·CD = HZ·ZB, y por tanto CD/ZH = ZB/BC.
Pero ZB/BC = CD/DE por semejanza de AED y AZF, y por tanto ZH = DE.
Entonces EDHZ es un paralelogramo y EZ=DH, es decir el segmento rojo es igual al radio de la circunferencia.


Esta entrada participa en la Edición 3.14159 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog Scientia.

Comments are closed.