Newton, Principia, Proposición 6

Sean AC y FG arcos de la misma o diferentes trayectorias de un punto que se mueve sujeto a una fuerza central ejercida desde un punto fijo S, recorridos en intervalos de tiempo Δt1 y Δt2 y sean B y D las intersecciones de la trayectoria con las semirectas que pasan por S y los puntos medios b,d de las cuerdas AC,FG.
La proposición 6 de los Principia demuestra que si FB es la fuerza ejercida desde S en el punto medio del arco AC, y FD es la fuerza ejercida desde S en el punto medio del arco FG, entonces la razón FB/FD entre las fuerzas es igual al límite, cuando Δt1 y Δt2 tienden a cero, de la razón (Bb·Δt22)/(Dd·Δt12), o, dicho de otra forma, las fuerzas son últimamente proporcionales directamente a las ‘sagitas’ Bb y Dd e inversamente a los cuadrados de los tiempos.

Porque, por un lado, si los intervalos Δt1, Δt2 son iguales, el límite de la razón entre las sagitas es igual a la razón entre las fuerzas. Este es el corolario 4 del teorema 1, que Newton justifica observando que en un paralelogramo de fuerzas, la sagita Bb, en la figura, es la mitad del vector que representa la fuerza ejercida en B hacia S.

Por otro lado, dada una fuerza, al decrecer el intervalo de tiempo (es decir, la longitud del arco AC) hacia cero, la sagita es últimamente proporcional al cuadrado del arco, lo que Newton demostró en el lema 11, observando que llegando al límite podemos sustituir la curva por la circunferencia osculatriz en el punto medio B’ del arco y que entonces, en la figura, B’C2 = B’b·B’H, por ser B’CH un triángulo rectángulo. Pero la sagita B’b es proporcional a la B’b’ que últimamente es igual a la Bb y la longitud de la cuerda B’C es últimamente la del arco B’C, y entonces la sagita es últimamente como el cuadrado del arco, es decir como el cuadrado de los tiempos.

Alternativamente se puede argumentar que el movimiento de B a C es la suma de un componente inercial BR en la dirección de la tangente y un componente RC, igual últimamente a Bb, debido a la atracción desde S, y el lema 10 dice que los desplazamientos iniciales RC, producidos por una fuerza, son como los cuadrados de los tiempos.

Entonces las sagitas son directamente proporcionales a las fuerzas y al cuadrado de los tiempos, y por tanto las fuerzas son directamente proporcionales a las sagitas e inversamente a los cuadrados de los tiempos.

Como veremos en la entrada siguiente, en los corolarios de esta proposición Newton obtiene unas ‘formulas’ que dan geométricamente la razón entre las fuerzas en diferentes puntos de la(s) trayectoria(s) de un punto móvil sujeto a la ley de la inercia y una fuerza continua cualquiera, ejercida desde un mismo centro de fuerzas.

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