Newton, Principia, Proposiciones 1 y 2

En el primer teorema de los Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, Newton demuestra que si la dirección de las fuerzas que se ejercen sobre un punto que se mueve, sujeto a esas fuerzas y a la ley de la inercia, pasa por un punto inmóvil, entonces las áreas barridas por el radio entre ese punto, o centro de fuerzas, y el punto que se mueve son proporcionales a los tiempos.
Y en el segundo teorema demuestra la recíproca, es decir si las áreas barridas desde un centro fijo son proporcionales a los tiempos, entonces las fuerzas, que hacen que el punto móvil se desvíe de la línea recta, se ejercen en la dirección de ese centro.

A continuación doy el argumento de Newton, con una presentación algo diferente de la original. (El original latín se puede ver aquí o en la traducción inglesa de Motte aquí).

Es claro que si un punto se mueve a velocidad constante en línea recta desde A hacia H , las áreas barridas por el radio trazado desde el punto móvil a un punto fijo S, que no esté en esa recta, son proporcionales a los tiempos, porque los espacios recorridos AB, GH son proporcionales a los tiempos, y las áreas de los triángulos barridos ABS,GHS son proporcionales a las bases AB, GH, pues la altura de esos triángulos es fija e igual a la distancia entre S y la recta de la trayectoria (Euclides I.38).

Supongamos ahora que, moviéndose el punto desde A hacia B a velocidad uniforme representada por el vector BD, al llegar a B se le aplica un impulso instantáneo BE que modifica su velocidad al vector BF, continuando el punto moviéndose uniformemente hacia C con la nueva velocidad BF, compuesta de la que tenía antes y de la producida por el impulso.

Si S es un punto situado en la recta BE, distinto de B, las áreas barridas por el segmento entre S y el punto móvil son también son proporcionales a los tiempos en la trayectoria ABC quebrada en B por ese impulso BE.

Porque si el punto llega a B en el momento t con velocidad BD, donde BD es el espacio recorrido en un intervalo Δt, y en t-Δt estaba en A, si no se ejerciese ninguna fuerza llegaría a D en el instante t+Δt, con AB=BD, y las áreas de los triángulos SAB,SBD son iguales.
Con el impulso aplicado en B en el instante t, en t+Δt el punto móvil llega a F desde B con la nueva velocidad BF, y el área barrida en ese intervalo entre t y t+Δt será el triángulo SBF. Pero las áreas de SBF y SBD son iguales pues esos triángulos tienen la misma base SB y la misma altura. Por tanto las áreas de SBA y SBF, barridas en tiempos iguales, son iguales.

Recíprocamente, si las áreas SBA, SBF, barridas en tiempos iguales, son iguales, DF será paralela a SB (Euclides I.39) y, como también es paralela a BE, S está en la recta BE.

Por tanto si un punto se mueve sujeto a la ley de la inercia y a fuerzas aplicadas en diferentes instantes, cuyas direcciones estén en las rectas que unen un punto fijo S con el punto de la trayectoria en que se aplica la fuerza, el punto móvil describe unas trayectoria poligonal y el radio que lo une al punto fijo barre áreas proporcionales a los tiempos.

Recíprocamente si ese radio barre áreas proporcionales a los tiempos, los impulsos están en la dirección de la recta que une S con los puntos en que cambia la trayectoria.

Si disminuimos hacia cero la duración de los intervalos entre los instantes en que se aplican los impulsos, en el límite tendremos una fuerza ejercida continuamente y el límite de las trayectorias poligonales será una curva en la que las áreas barridas por el radio desde el centro de fuerzas S al punto móvil serán proporcionales a los tiempos.

Y recíprocamente, si ese radio barre áreas proporcionales a los tiempos, la fuerza se ejerce en la dirección de la recta que une S con los puntos de la trayectoria curva.

Una curva plana puede ser la trayectoria de un punto P que se mueve sujeto a la ley de la inercia y a una fuerza, modulada adecuadamente en el tiempo, ejercida desde un punto fijo S del plano, con la condición de que podamos mover un punto, en un mismo sentido alrededor de S (es decir sin que la trayectoria ‘vuelva hacia atrás’) sobre la curva de forma que las áreas barridas por el radio SP sean proporcionales a los tiempos.