Otra construcción de la osculatriz

La fórmula para el radio de curvatura en un punto P de una cónica obtenida en la entrada anterior nos da otra construcción geométrica sencilla del centro O de la circunferencia osculatriz en P:

Trazamos la recta que une un foco S con P. Desde G, punto de intersección de la normal en P con el eje, trazamos una perpendicular a PG que corta a la recta SP en un punto H. Desde H trazamos una perpendicular a PH que corta a la recta PG en O.
Entonces O es el centro de curvatura en P, y la circunferencia con centro O que pasa por P es la circunferencia osculatriz en P.

Porque sabemos que OP=PG3/SL2 y también que, en la figura, SL=PK.
Por el teorema del cateto en los triángulos rectángulos PGH y PHO, los segmentos PK, PG, PH, PO están en progresión geométrica, y como PK=SL, será PH=PG2/SL y PO=PG3/SL2, y por tanto O es el centro de curvatura en P.

Además, como PG es la media geométrica de PK y PH, y también es la media geométrica de los segmentos de la cuerda focal paralela a la tangente en P, y PK=SL es la media armónica de esos segmentos, PH será la media aritmética de esos segmentos, porque las medias armónica, geométrica y aritmética están en progresión geométrica.
Por tanto PH es igual a la mitad de la cuerda focal CD paralela a la tangente en P.
La circunferencia de centro O y radio OP, pasa por el simétrico P’ de P respecto a H, porque OHP es recto.
Como PP’ es el doble de PH, tenemos que, en una cónica, la cuerda de curvatura focal de un punto P, es decir la cuerda PP’ de la circunferencia osculatriz en P que pasa por P y un foco S, es igual a la cuerda CD de la cónica paralela a la tangente.

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