Otra demostración de P3(n) ≈ n2/12

Trazamos tantos triángulos no congruentes cuyos vértices son vértices de un polígono regular de n lados como sea posible. Sabemos que hay tantos triángulos no congruentes como el número  P_3(n) de particiones de n en tres partes.

Designamos con T(n), T_i(n), T_e(n) el número de triángulos, triángulos isósceles y triángulos escalenos cuyos vértices son vértices de un polígono regular de n lados, y con P_{3,2i}(n), P_{3,3d}(n) el número de triángulos isósceles y escalenos no congruentes.

Cualquier triángulo isósceles cuyos vértices son vértices del polígono se obtiene a partir de uno de los triángulos en rojo rotándolo \frac{2 \pi k}{  n} radianes , con k = 1,\ldots n, excepto los triángulos equiláteros, en que basta que k = 1 \ldots \frac{n}{3}.
Entonces si m_a(n) es 1 si n es múltiplo de a y 0 si no lo es, T_i(n) = n \cdot P_{3,2i} - \frac{2 \cdot n \cdot m_3}{3}.

Cualquier triángulo escaleno cuyos vértices son vértices del polígono se obtiene a partir de uno de los triángulos no congruentes, o de su simétrico respecto a una recta que pase por el centro y un vértice del polígono, rotándolo \frac{2 \pi k}{  n} radianes , con k = 1,\ldots n, y por tanto T_e(n) = 2 \cdot n \cdot P_{3,3d}(n).

T_i(n) + T_e(n) = T(n) = \binom{n}{3} porque cada subconjunto de tres vértices del polígono determina un triángulo.
El número de triángulos isósceles no congruentes es P_{3,2i}(n) = \frac {n-1-m_2}{2}. Por tanto
P_{3,3d}(n) = \frac{T(n)- T_i(n)}{2n} = \frac{(n-1)(n-2)/6 - ( (n-1-m_2)/2 -2m_3/3 ) }{2} = \frac{n^2 - 6n +5 + 3m_2 + 4m_3}{12}, y
P_3(n) = P_{3,2i}(n) +P_{3,3d}(n) = \frac{n-1-m_2}{2} + \frac{n^2 - 6n +5 + 3m_2 + 4m_3}{12} = \frac{n^2}{12} + \frac{4m_3 - 3m_2 -1}{12}.

De donde concluimos, como en la demostración anterior, que P_3(n) = \lfloor \dfrac{n^2+3}{12} \rfloor.

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