El hada Melusina y la trigonometría

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El hada Melusina y la trigonometría se cruzan en la siguiente frase de François Viète:
(Imagen tomada de “Francisci Vietae opera mathematica, Leiden 1646″, pag. 315).

“Teorema III. Cuyo descubrimiento de alegría me emocionó, oh diosa Melusina, a ti cien ovejas por una de Pitágoras inmolé“, y que alude a la leyenda, contada en Plutarco, sobre el sacrificio de un buey por Pitágoras al descubrir su teorema.

Una búsqueda adicional revela que la ‘diva Melusinis’ de la frase no es el hada Melusina, sino Catherine de Parthenay, como se ve en la dedicatoria del “In Artem Analitycen Isagoge“, donde Vieta llama a Catherine princesa melusínida, y dice que el hada fue “ataviam tuam” o su cuadrisabuela. (en francés aquí).
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Suma de los inversos de los cuadrados

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\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} \ = \ \frac{\pi^2}{6}

La siguiente demostración, que no usa cálculo diferencial ni series infinitas, está tomada del libro de A.M.Yaglom & I.M.Yaglom, “Challenging Mathematical Problems with Elementary Solutions“.

A partir de la fórmula del seno del ángulo múltiplo obtenemos las raíces de determinado polinomio y de ahí unas identidades trigonométricas que junto con un hecho básico de trigonometría elemental nos llevan al resultado final.
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Una cita de Alberto Dou

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La introducción a “Fundamentos de la matemática” (Labor,1970) de Alberto Dou (S.J.) comienza así:

Las verdades teológicas son oscuras, las filosóficas son discutibles, las históricas dependen del poder e influencia de los gobiernos contemporáneos y las políticas están basadas en principios harto dudosos. Las verdades de la biología, incluyendo la medicina, son casi meramente empíricas y las de las ciencias sociales, económicas y psicológicas están basadas en la estadística y en el mejor de los casos representan una más o menos válida probabilidad. Incluso las verdades fisicoquímicas dejan mucho que desear: carecen de rigor y no pueden dar más que una buena aproximación, aunque si no somos demasiado exigentes ofrecen a menudo una aproximación que satisface completamente nuestros deseos.
Parece, pues, que sólo las ciencias matemáticas ofrecen verdades que por un lado no son nada triviales y por otra alcanzan el ideal de verdad absoluta que el más exigente científico puede apetecer……pues en el orden de la necesidad y universalidad, las máximas cualidades de toda ciencia, al parecer nada dejan que desear.

Otra demostración de P3(n) ≈ n2/12

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Trazamos tantos triángulos no congruentes cuyos vértices son vértices de un polígono regular de n lados como sea posible. Sabemos que hay tantos triángulos no congruentes como el número P_3(n) de particiones de n en tres partes.

Designamos con T(n), T_i(n), T_e(n) el número de triángulos, triángulos isósceles y triángulos escalenos cuyos vértices son vértices de un polígono regular de n lados, y con P_{3,2i}(n), P_{3,3d}(n) el número de triángulos isósceles y escalenos no congruentes.

Cualquier triángulo isósceles cuyos vértices son vértices del polígono se obtiene a partir de uno de los triángulos en rojo rotándolo \frac{2 \pi k}{ n} radianes , con k = 1,\ldots n, excepto los triángulos equiláteros, en que basta que k = 1 \ldots \frac{n}{3}.
Entonces si m_a(n) es 1 si n es múltiplo de a y 0 si no lo es, T_i(n) = n \cdot P_{3,2i} - \frac{2 \cdot n \cdot m_3}{3}.

Cualquier triángulo escaleno cuyos vértices son vértices del polígono se obtiene a partir de uno de los triángulos no congruentes, o de su simétrico respecto a una recta que pase por el centro y un vértice del polígono, rotándolo \frac{2 \pi k}{ n} radianes , con k = 1,\ldots n, y por tanto T_e(n) = 2 \cdot n \cdot P_{3,3d}(n).

T_i(n) + T_e(n) = T(n) = \binom{n}{3} porque cada subconjunto de tres vértices del polígono determina un triángulo.
El número de triángulos isósceles no congruentes es P_{3,2i}(n) = \frac {n-1-m_2}{2}. Por tanto
P_{3,3d}(n) = \frac{T(n)- T_i(n)}{2n} = \frac{(n-1)(n-2)/6 - ( (n-1-m_2)/2 -2m_3/3 ) }{2} = \frac{n^2 - 6n +5 + 3m_2 + 4m_3}{12}, y
P_3(n) = P_{3,2i}(n) +P_{3,3d}(n) = \frac{n-1-m_2}{2} + \frac{n^2 - 6n +5 + 3m_2 + 4m_3}{12} = \frac{n^2}{12} + \frac{4m_3 - 3m_2 -1}{12}.

De donde concluimos, como en la demostración anterior, que P_3(n) = \lfloor \dfrac{n^2+3}{12} \rfloor.

Número de clases de semejanza

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Trazamos todas las rectas que pasan por dos vértices de un polígono regular de n lados.

En el conjunto de triángulos que aparecen, el número de clases de triángulos semejantes que hay, o, lo que es lo mismo, el máximo número de triángulos no semejantes entre sí que podemos señalar, es igual al número de particiones de n en tres partes P_3(n), que según la entrada anterior es igual a \lfloor \frac{n^2 + 3}{12} \rfloor.

Demostración:
Los ángulos del mismo color verde o rojo en la figura son iguales, e iguales a la mitad del correspondiente ángulo central (Euclides III.20 y III.21) y los ángulos naranja y azul son la suma y diferencia de un ángulo verde y uno rojo (por Euclides I.32).

De donde se deduce que todos los ángulos de los triángulos en la figura inicial son múltiplos de \frac{180^{ \circ }}{n} , o, en radianes, de \frac{\pi}{n}, y por tanto no hay más triángulos no semejantes que particiones de n en tres partes.

Además todo triángulo en la figura inicial es semejante a un triángulo cuyos tres vértices son vértices del polígono regular, y entre los triángulos de este tipo hay tantos triángulos no congruentes como particiones de n en tres partes.

Producto de lados y diagonales

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Si en la figura siguiente el radio de las circunferencias circunscritas es 1, por una entrada anterior la suma de los cuadrados de las longitudes de los segmentos rojos es, respectivamente, 6, 8, 10, y 12.

En cambio, el producto de las longitudes de esos segmentos es 3, 4, 5 y 6.

Y, en general, dado un polígono regular de n lados inscrito en una circunferencia de radio igual a 1, el producto de las longitudes de las diagonales y los lados que concurren en un vértice es igual a n.

Porque situando el polígono en el plano complejo con centro en 0 y un vértice en 1, los vértices del polígono son las raíces z_i de z^n - 1 = 0 , y por tanto z^n-1 = \prod (z-z_i).
Pero es una identidad algebraica que z^n -1 =(z-1)( z^{n-1} + \ldots + z + 1), y por tanto tenemos z^{n-1} + \ldots + z + 1 = \prod (z-z_i) , donde los z_i recorren las raíces distintas de 1, y tomando z=1, \prod (1-z_i) = n.

Los módulos de los complejos 1-z_i son las longitudes de los segmentos entre 1 y z_i, es decir las longitudes de las diagonales y los lados que concurren en 1, y el producto de los módulos es el módulo del producto, que es igual al módulo de n, igual a n.

Si el radio de la circunferencia circunscrita es R, nuestro producto será igual a nR^{n-1}.

Esta entrada participa en la Edición 7.6 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Gaussianos.

El problema IMO-2011.2 con JSXGraph

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La librería gratuita JSXGraph para JavaScript es una alternativa interesante para generar figuras geométricas animadas e interactivas.
Como práctica en JSXGraph decidí ilustrar el ‘remolino’ descrito en el segundo problema planteado en la Olimpiada Internacional de Matemáticas de 2011:

El enunciado del problema es el siguiente:
Sea S un conjunto finito de dos o más puntos del plano. En S no hay tres puntos colineales. Un remolino es un proceso que empieza con una recta h que pasa por un único punto P de S. Se rota h en el sentido de las manecillas del reloj con centro en P hasta que la recta encuentre por primera vez otro punto de S al cual llamaremos Q. Con Q como nuevo centro se sigue rotando la recta en el sentido de las manecillas del reloj hasta que la recta encuentre otro punto de S. Este proceso continúa indefinidamente.
Demostrar que se puede elegir un punto P de S y una recta h que pasa por P tales que el remolino que resulta usa cada punto de S como centro de rotación un número infinito de veces.

El problema es curioso porque no hace falta saber matemáticas para entender el enunciado ni la solución.