Trazamos tantos triángulos no congruentes cuyos vértices son vértices de un polígono regular de n lados como sea posible. Sabemos que hay tantos triángulos no congruentes como el número
de particiones de n en tres partes.

Designamos con
el número de triángulos, triángulos isósceles y triángulos escalenos cuyos vértices son vértices de un polígono regular de n lados, y con
el número de triángulos isósceles y escalenos no congruentes.
Cualquier triángulo isósceles cuyos vértices son vértices del polígono se obtiene a partir de uno de los triángulos en rojo rotándolo
radianes , con
, excepto los triángulos equiláteros, en que basta que
.
Entonces si
es 1 si n es múltiplo de a y 0 si no lo es,
.

Cualquier triángulo escaleno cuyos vértices son vértices del polígono se obtiene a partir de uno de los triángulos no congruentes, o de su simétrico respecto a una recta que pase por el centro y un vértice del polígono, rotándolo
radianes , con
, y por tanto
.
porque cada subconjunto de tres vértices del polígono determina un triángulo.
El número de triángulos isósceles no congruentes es
. Por tanto
, y
.
De donde concluimos, como en la demostración anterior, que
.