Para referencia posterior, se demuestran aquí dos lemitas sobre el radio focal de una cónica, consecuencias de la demostración presentada en la entrada sobre la normal y los radios focales.
Como en esa entrada, en las siguientes figuras P es un punto de una cónica con foco S y directriz MX.
Lema 1.
El radio focal SP es la media geométrica de MP, distancia de P a la directriz, y de SG, distancia del foco S a la intersección de la normal con el eje. Es decir SG/SP=SP/MP, que es la excentricidad de la cónica.
Porque, por ser PSR recto, la circunferencia de diámetro PR pasa por M y S, y PG es tangente a esa circunferencia. Entonces los ángulos SPG y PMS son iguales. Los ángulos MPS y PSG también son iguales y por tanto los triángulos PSG y MPS son semejantes y MP/SP=SP/SG.
Lema 2.
En la figura PR/SR=PG/SL.
Si SY es perpendicular a la tangente desde el foco, PS/SY = PG/SL.
Los ángulos SPR y SPG son complementarios, porque el ángulo RPG es recto.
Como PSR es recto y PKG también lo es, los triángulos RSP y PKG son semejantes y por tanto PR/SR=PG/PK. Pero vimos que PK=SL, la mitad del lado recto, y por tanto PR/SR=PG/SL.
Los triángulos SYP y PKG también son semejantes, y entonces PS/SY=PG/PK=PG/SL.