El número de particiones de
en 3 partes (que es igual al número de particiones de
cuya parte máxima es 3) es el entero más próximo a
, que es igual a la parte entera de
. (
es la secuencia OEIS A069905)
Por ejemplo, si tenemos
.
Demostración:
Sea la función de
que vale 1 cuando
es múltiplo de
y cero cuando no lo es.
Si es el número de las particiones contadas por
que tienen al menos dos partes iguales, tenemos
, porque el valor de las partes iguales está entre 1 y
y determina el valor de la parte restante.
Si es el número de las particiones contadas por
cuyas 3 partes son diferentes,
.
Designamos con y
el número de ternas ordenadas
tales que
, con las mismas condiciones que en las funciones
. También
.
Como cada partición contada en genera 6 ternas contadas en
, tenemos
.
porque eligiendo 2 enteros entre
, el intervalo
queda dividido en 3 segmentos de longitud entera que suman
.
, porque cada partición contada en
da lugar a 3 ternas contadas en
, excepto la partición con las tres partes iguales, que solo ocurre cuando n es múltiplo de 3.
Entonces como sabemos que , tenemos:
, y, finalmente,
.
Asignando a sus valores 0 ó 1, la última expresión será
, o
, o
, o
, es decir
es igual al entero más próximo a
.
Y como el resto de un cuadrado al dividirlo entre 12 es 0,1,4 o 9, el entero más próximo a es la parte entera de
, donde podemos escribir 4,5,6 o 7 en lugar del 3.
Esta entrada participa en la Edición 7.6 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Gaussianos.
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