Particiones de n en tres partes

El número $P_3(n)$ de particiones de $n$ en 3 partes (que es igual al número de particiones de $n$ cuya parte máxima es 3) es el entero más próximo a $n^2/12$ , que es igual a la parte entera de $(n^2+3)/12$ . ( $P_3(n)$ es la secuencia OEIS A069905)

Por ejemplo, si $n=7$ tenemos $49/12 \approx 4 = P_3(7)$ .

Demostración:
Sea $m_a$ la función de $n$ que vale 1 cuando $n$ es múltiplo de $a$ y cero cuando no lo es.

Si $P_{3,2i}(n)$ es el número de las particiones contadas por $P_3(n)$ que tienen al menos dos partes iguales, tenemos $P_{3,2i}(n) = (n-1-m_2)/2$ , porque el valor de las partes iguales está entre 1 y $(n-1-m_2)/2$ y determina el valor de la parte restante.

Si $P_{3,3d}(n)$ es el número de las particiones contadas por $P_3(n)$ cuyas 3 partes son diferentes, $P_3(n) = P_{3,2i}(n) + P_{3,3d}(n)$ .

Designamos con $O_3(n), O_{3,2i}(n)$ y $O_{3,3d}(n)$ el número de ternas ordenadas $(n_1,n_2,n_3)$ tales que $n_1+n_2+n_3 = n$ , con las mismas condiciones que en las funciones $P_3$ . También $O_3(n) = O_{3,2i}(n) + O_{3,3d}(n)$ .

Como cada partición contada en $P_{3,3d}(n)$ genera 6 ternas contadas en $O_{3,3d}(n)$ , tenemos $P_{3,3d}(n) = O_{3,3d}(n)/6 = (O_3(n)- O_{3,2i}(n) )/6$ .

$O_3(n)= \binom{n-1}{2} = (n-1)(n-2)/2$ porque eligiendo 2 enteros entre $1, \ldots , n-1$ , el intervalo $[ 0,n ]$ queda dividido en 3 segmentos de longitud entera que suman $n$ .

$O_{3,2i}(n) = 3P_{3,2i}(n) - 2m_3$ , porque cada partición contada en $P_{3,2i}(n)$ da lugar a 3 ternas contadas en $O_{3,2i}(n)$ , excepto la partición con las tres partes iguales, que solo ocurre cuando n es múltiplo de 3.

Entonces como sabemos que $P_{3,2i}(n) = (n-1-m_2)/2$ , tenemos:
$O_{3,2i}(n) = 3P_{3,2i}(n) - 2m_3 = 3 (n-1-m_2)/2 - 2m_3 = (3n - 3 - 3m_2 -4m_3)/2$
$O_{3,3d}(n) = O_3(n) - O_{3,2i}(n) = (n^2 - 3n +2)/2 - (3n - 3 - 3m_2 -4m_3)/2 =$
$= (n^2 - 6n +5 + 3m_2 + 4m_3)/2$
$P_{3,3d}(n) = O_{3,3d}(n)/6 =(n^2 - 6n +5 + 3m_2 + 4m_3)/12$ , y, finalmente,
$P_3(n) = P_{3,2i}(n) +P_{3,3d}(n) = (n-1-m_2)/2 + (n^2 - 6n +5 + 3m_2 + 4m_3)/12 =$
$= (n^2 -1 - 3m_2 + 4m_3)/12 = n^2/12 + (4m_3 - 3m_2 -1)/12$ .

Asignando a $m_2,m_3$ sus valores 0 ó 1, la última expresión será $n^2/12 -1/3$ , o $n^2/12 -1/12$ , o $n^2/12$ , o $n^2/12 + 1/4$ , es decir $P_3(n)$ es igual al entero más próximo a $n^2/12$ .
Y como el resto de un cuadrado al dividirlo entre 12 es 0,1,4 o 9, el entero más próximo a $n^2/12$ es la parte entera de $(n^2 + 3)/12$ , donde podemos escribir 4,5,6 o 7 en lugar del 3.