Particiones de n en tres partes

El número P_3(n) de particiones de n en 3 partes (que es igual al número de particiones de n cuya parte máxima es 3) es el entero más próximo a n^2/12, que es igual a la parte entera de (n^2+3)/12.    (P_3(n) es la secuencia OEIS A069905)

Por ejemplo, si n=7   tenemos   49/12 \approx 4 = P_3(7).

Demostración:    
Sea m_a la función de n que vale 1 cuando n es múltiplo de a y cero cuando no lo es.

Si P_{3,2i}(n) es el número de las particiones contadas por P_3(n) que tienen al menos dos partes iguales, tenemos P_{3,2i}(n) = (n-1-m_2)/2, porque el valor de las partes iguales está entre 1 y (n-1-m_2)/2   y determina el valor de la parte restante.

Si P_{3,3d}(n) es el número de las particiones contadas por P_3(n) cuyas 3 partes son diferentes, P_3(n) = P_{3,2i}(n) + P_{3,3d}(n).

Designamos con O_3(n), O_{3,2i}(n) y O_{3,3d}(n) el número de ternas ordenadas (n_1,n_2,n_3) tales que n_1+n_2+n_3 = n, con las mismas condiciones que en las funciones P_3. También O_3(n) = O_{3,2i}(n) + O_{3,3d}(n).

Como cada partición contada en P_{3,3d}(n) genera 6 ternas contadas en O_{3,3d}(n), tenemos  P_{3,3d}(n) =  O_{3,3d}(n)/6  = (O_3(n)- O_{3,2i}(n) )/6.

O_3(n)= \binom{n-1}{2} = (n-1)(n-2)/2 porque eligiendo 2 enteros entre 1, \ldots , n-1, el intervalo [ 0,n ] queda dividido en 3 segmentos de longitud entera que suman n.

O_{3,2i}(n) =   3P_{3,2i}(n) - 2m_3, porque cada partición contada en P_{3,2i}(n) da lugar a 3 ternas contadas en O_{3,2i}(n), excepto la partición con las tres partes iguales, que solo ocurre cuando n es múltiplo de 3.

Entonces como sabemos que P_{3,2i}(n) = (n-1-m_2)/2, tenemos:
O_{3,2i}(n) =  3P_{3,2i}(n) - 2m_3 = 3 (n-1-m_2)/2  - 2m_3  = (3n - 3 - 3m_2 -4m_3)/2
O_{3,3d}(n) = O_3(n) - O_{3,2i}(n) = (n^2 - 3n +2)/2 - (3n - 3 - 3m_2 -4m_3)/2 =
= (n^2 - 6n +5 + 3m_2 + 4m_3)/2
P_{3,3d}(n) =  O_{3,3d}(n)/6 =(n^2 - 6n +5 + 3m_2 + 4m_3)/12, y, finalmente,
P_3(n) = P_{3,2i}(n) +P_{3,3d}(n) = (n-1-m_2)/2 + (n^2 - 6n +5 + 3m_2 + 4m_3)/12 =
= (n^2 -1 - 3m_2 + 4m_3)/12 = n^2/12 + (4m_3 - 3m_2 -1)/12.

Asignando a m_2,m_3 sus valores 0 ó 1, la última expresión será n^2/12 -1/3, o n^2/12 -1/12, o n^2/12, o n^2/12 + 1/4, es decir P_3(n) es igual al entero más próximo a n^2/12.
Y como el resto de un cuadrado al dividirlo entre 12 es 0,1,4 o 9, el entero más próximo a n^2/12 es la parte entera de (n^2 + 3)/12, donde podemos escribir 4,5,6 o 7 en lugar del 3.


Esta entrada participa en la Edición 7.6 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Gaussianos.

Un comentario sobre “Particiones de n en tres partes

  1. Pingback: Número de clases de semejanza | Guirnalda matemática

Escribir un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos necesarios están marcados *

*

Puedes usar las siguientes etiquetas y atributos HTML: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>