Polinomios de Vieta (1)

En el libro “Ad angulares sectiones…” Vieta obtiene tres familias de polinomios. Aquí presentamos los polinomios de Vieta de segunda especie.

Teorema IV.
En la figura tenemos puntos en una circunferencia tales que arco \ PC_1 = arco \ C_1C_2 = \ldots.
Entonces, por el teorema del ‘invariante de Vieta’, \dfrac{PC_2}{PC_1} = \dfrac{PC_3 + PC_1}{PC_2} = \dfrac{PC_4 + PC_2}{PC_3} = \ldots .

Teorema VII.
De donde1, si x =\dfrac{PC_2}{PC_1}, resulta que PC_{i+1} = xPC_{i} - PC_{i-1}, y por tanto si PC_1=1, tenemos PC_2=x, \ PC_3= x^2-1, \ PC_4=x^3-2x, \ldots
O, escribiendo N=x, \  Q=x^2, \ C=x^3, tenemos la lista de polinomios impresa en 1615:

Si llamamos a estos polinomios V_n(x), de forma que V_0(x)=1, V_1(x) = x   y V_n(x) = xV_{n-1}(x) - V_{n-2}(x),   resulta que los polinomios de Chebyshev de segunda especie son los polinomios V_n(2x).
Este es un motivo para llamar ‘de segunda especie’ a estos polinomios de Vieta, pero el principal es que es la segunda familia que presenta Vieta (la primera sale en el teorema VI), aunque, que yo sepa, ese nombre no aparece en ningún sitio.

No es difícil demostrar que V_n(x) =  \displaystyle \sum_{k \ge 0} (-1)^k \binom{n-k}{k}x^{n-2k}.

Si \alpha = \angle C_1PC_2, y el radio de la circunferencia es 1, PC_1 = 2 \sin \alpha, PC_2 = 2 \sin 2\alpha, PC_3= 2 \sin 3\alpha, \ldots

Como PC_n = V_{n-1}(\frac{PC_2}{PC_1}) si PC_1=1,   cuando PC_1=2 \sin \alpha   será PC_n = 2 \sin \alpha \ V_{n-1}(\frac{\sin 2 \alpha}{\sin \alpha}) =  2 \sin \alpha \ V_{n-1}(2 \cos \alpha).
Por tanto \sin n \alpha = \sin \alpha \cdot V_{n-1}(2 \cos \alpha)     o   \displaystyle \sin n \alpha = \sin \alpha \cdot \sum_{k \ge 0} (-1)^k \binom{n-1-k}{k} (2 \cos \alpha)^{n-1-2k} .
Esta es la fórmula 11 en la entrada de MathWorld sobre las fórmulas del ángulo múltiplo.

La secuencia de los coeficientes de los polinomios V_n(x) es la OEIS A049310, y los V_n(x) se obtienen a partir de la ‘función fundamental’ de Lucas   U_a con p=x, q=1.


1 – En la entrada anterior usamos la expresión  \frac{PC_{n-1} + S\cdot PC_{n+1}}{PC_n} = constante, con S= \pm 1, donde S se introdujo para que los PC_i fuesen positivos, como longitudes de cuerdas que eran. En esta entrada S=1 y consideramos que los PC_i pueden ser negativos, y las longitudes de las cuerdas son los valores absolutos de los PC_i.
En Vieta, donde no hay números negativos, la cuestión no se presenta porque no trata ángulos mayores que 2 rectos.

2 comentarios sobre “Polinomios de Vieta (1)

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