Polinomios de Vieta (1)

En el libro “Ad angulares sectiones…” Vieta obtiene tres familias de polinomios. Aquí presentamos los polinomios de Vieta de segunda especie.

Teorema IV.
En la figura tenemos puntos en una circunferencia tales que $arco \ PC_1 = arco \ C_1C_2 = \ldots$ .
Entonces, por el teorema del ‘invariante de Vieta’, $\dfrac{PC_2}{PC_1} = \dfrac{PC_3 + PC_1}{PC_2} = \dfrac{PC_4 + PC_2}{PC_3} = \ldots$ .

Teorema VII.
De donde¹, si $x =\dfrac{PC_2}{PC_1}$ , resulta que $PC_{i+1} = xPC_{i} - PC_{i-1}$ , y por tanto si $PC_1=1$ , tenemos $PC_2=x, \ PC_3= x^2-1, \ PC_4=x^3-2x, \ldots$
O, escribiendo $N=x, \ Q=x^2, \ C=x^3$ , tenemos la lista de polinomios impresa en 1615:

Si llamamos a estos polinomios $V_n(x)$ , de forma que $V_0(x)=1, V_1(x) = x$ y $V_n(x) = xV_{n-1}(x) - V_{n-2}(x)$ , resulta que los polinomios de Chebyshev de segunda especie son los polinomios $V_n(2x)$ .
Este es un motivo para llamar ‘de segunda especie’ a estos polinomios de Vieta, pero el principal es que es la segunda familia que presenta Vieta (la primera sale en el teorema VI), aunque, que yo sepa, ese nombre no aparece en ningún sitio.

No es difícil demostrar que $V_n(x) = \displaystyle \sum_{k \ge 0} (-1)^k \binom{n-k}{k}x^{n-2k}$ .

Si $\alpha = \angle C_1PC_2$ , y el radio de la circunferencia es 1, $PC_1 = 2 \sin \alpha, PC_2 = 2 \sin 2\alpha, PC_3= 2 \sin 3\alpha, \ldots$

Como $PC_n = V_{n-1}(\frac{PC_2}{PC_1})$ si $PC_1=1$ , cuando $PC_1=2 \sin \alpha$ será $PC_n = 2 \sin \alpha \ V_{n-1}(\frac{\sin 2 \alpha}{\sin \alpha})$ $= 2 \sin \alpha \ V_{n-1}(2 \cos \alpha)$ .
Por tanto $\sin n \alpha = \sin \alpha \cdot V_{n-1}(2 \cos \alpha)$ o $\displaystyle \sin n \alpha = \sin \alpha \cdot \sum_{k \ge 0} (-1)^k \binom{n-1-k}{k} (2 \cos \alpha)^{n-1-2k}$ .
Esta es la fórmula 11 en la entrada de MathWorld sobre las fórmulas del ángulo múltiplo.

La secuencia de los coeficientes de los polinomios $V_n(x)$ es la OEIS A049310, y los $V_n(x)$ se obtienen a partir de la ‘función fundamental’ de Lucas $U_a$ con $p=x, q=1$ .

¹ – En la entrada anterior usamos la expresión $\frac{PC_{n-1} + S\cdot PC_{n+1}}{PC_n} =$ constante, con $S= \pm 1$ , donde $S$ se introdujo para que los $PC_i$ fuesen positivos, como longitudes de cuerdas que eran. En esta entrada $S=1$ y consideramos que los $PC_i$ pueden ser negativos, y las longitudes de las cuerdas son los valores absolutos de los $PC_i$ .
En Vieta, donde no hay números negativos, la cuestión no se presenta porque no trata ángulos mayores que 2 rectos.

Guirnalda matemática

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