Polinomios de Vieta (2)

En la entrada anterior presentamos los polinomios de Vieta de segunda especie.
Aquí tratamos paralelamente los polinomios de Vieta de primera especie.

Teorema V.
En la figura tenemos puntos en una circunferencia tales que arco \ CC_1 = arco \ C_1C_2 = \ldots, y PC es un diámetro.
Entonces, por el teorema del ‘invariante de Vieta’, \dfrac{2PC_1}{PC} =\dfrac{PC_2+PC}{PC_1} = \dfrac{PC_3 + PC_1}{PC_2} = \dfrac{PC_4 + PC_2}{PC_3} = \ldots

Teorema VI.
De donde, si x =\dfrac{2PC_1}{PC} = \dfrac{PC_1}{OC}, resulta que PC_{i+1} = xPC_{i} - PC_{i-1}, y por tanto si OC=1, tenemos PC=2, \ PC_1=x, \ PC_2= x^2-2, \ PC_3=x^3-3x, \ldots

O, escribiendo N=x, \  Q=x^2, \ C=x^3, tenemos la lista de polinomios impresa en 1615:

Si llamamos a estos polinomios V_n(x), de forma que V_0(x)=2, V_1(x) = x   y V_n(x) = xV_{n-1}(x) - V_{n-2}(x),   resulta que si T_n(x) son los polinomios de Chebyshev de primera especie, T_n(x) = V_n(2x)/2.
Este es un motivo para llamar ‘de primera especie’ a estos polinomios de Vieta, pero el principal es que es la primera familia que presenta Vieta.

No es difícil demostrar que V_n(x) =  \displaystyle \sum_{k \ge 0} (-1)^k\cdot v_{n,k}\cdot x^{n-2k},   donde v_{n,k} = \dbinom{n-k+1}{k}- \dbinom{n-k-1}{k-2} = \dfrac{n (n-k-1)!}{k!(n-2k)!} = \dfrac{n}{n-k} \dbinom{n-k}{k}


Si \alpha = \angle CPC_1, y el radio OC de la circunferencia es 1, PC_1 = 2 \cos \alpha, PC_2 = 2 \cos 2\alpha, PC_3= 2 \cos 3\alpha, \ldots

Como PC_n = V_{n}(\frac{PC_1}{OC}) si OC=1,   tenemos PC_n =  2 \cos n \alpha = \ V_{n}(2 \cos \alpha).

Por tanto \cos n \alpha =  V_{n}(2 \cos \alpha)/2 = T_n( \cos \alpha),   que es la fórmula 43 en la entrada de MathWorld sobre las fórmulas del ángulo múltiplo. También tenemos la fórmula 35 tomando como v_{n,k} una de sus expresiones.

La secuencia de los coeficientes de los polinomios V_n(x) es la OEIS A127672, y los V_n(x) se obtienen a partir de la ‘función primordial’ de Lucas   V_a con p=x, q=1.

Un comentario sobre “Polinomios de Vieta (2)

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