Polinomios de Vieta (2)

En la entrada anterior presentamos los polinomios de Vieta de segunda especie.
Aquí tratamos paralelamente los polinomios de Vieta de primera especie.

Teorema V.
En la figura tenemos puntos en una circunferencia tales que $arco \ CC_1 = arco \ C_1C_2 = \ldots$ , y $PC$ es un diámetro.
Entonces, por el teorema del ‘invariante de Vieta’, $\dfrac{2PC_1}{PC} =\dfrac{PC_2+PC}{PC_1} = \dfrac{PC_3 + PC_1}{PC_2} = \dfrac{PC_4 + PC_2}{PC_3} = \ldots$

Teorema VI.
De donde, si $x =\dfrac{2PC_1}{PC} = \dfrac{PC_1}{OC}$ , resulta que $PC_{i+1} = xPC_{i} - PC_{i-1}$ , y por tanto si $OC=1$ , tenemos $PC=2, \ PC_1=x, \ PC_2= x^2-2, \ PC_3=x^3-3x, \ldots$

O, escribiendo $N=x, \ Q=x^2, \ C=x^3$ , tenemos la lista de polinomios impresa en 1615:

Si llamamos a estos polinomios $V_n(x)$ , de forma que $V_0(x)=2, V_1(x) = x$ y $V_n(x) = xV_{n-1}(x) - V_{n-2}(x)$ , resulta que si $T_n(x)$ son los polinomios de Chebyshev de primera especie, $T_n(x) = V_n(2x)/2$ .
Este es un motivo para llamar ‘de primera especie’ a estos polinomios de Vieta, pero el principal es que es la primera familia que presenta Vieta.

No es difícil demostrar que $V_n(x) = \displaystyle \sum_{k \ge 0} (-1)^k\cdot v_{n,k}\cdot x^{n-2k}$ , donde $v_{n,k} = \dbinom{n-k+1}{k}- \dbinom{n-k-1}{k-2} = \dfrac{n (n-k-1)!}{k!(n-2k)!} = \dfrac{n}{n-k} \dbinom{n-k}{k}$

Si $\alpha = \angle CPC_1$ , y el radio $OC$ de la circunferencia es 1, $PC_1 = 2 \cos \alpha, PC_2 = 2 \cos 2\alpha, PC_3= 2 \cos 3\alpha, \ldots$

Como $PC_n = V_{n}(\frac{PC_1}{OC})$ si $OC=1$ , tenemos $PC_n = 2 \cos n \alpha = \ V_{n}(2 \cos \alpha)$ .

Por tanto $\cos n \alpha = V_{n}(2 \cos \alpha)/2 = T_n( \cos \alpha)$ , que es la fórmula 43 en la entrada de MathWorld sobre las fórmulas del ángulo múltiplo. También tenemos la fórmula 35 tomando como $v_{n,k}$ una de sus expresiones.

La secuencia de los coeficientes de los polinomios $V_n(x)$ es la OEIS A127672, y los $V_n(x)$ se obtienen a partir de la ‘función primordial’ de Lucas $V_a$ con $p=x, q=1$ .

Guirnalda matemática

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