Polinomios de Vieta (y 3)

Después de los polinomios de primera y segunda especie, presentamos la tercera familia de polinomios de Vieta, que es una alteración de la primera.

Teorema VIII.
Este teorema enuncia el caso en que tomamos la diferencia entre las cuerdas en el teorema del ‘invariante de Vieta’, por el que , en la figura, $\dfrac{H_1}{OC} = \dfrac{2H_1}{B_0} = \dfrac{B_0-B_2}{H_1} = \dfrac{H_3-H_1}{B_2} = \ldots$

Teorema IX.
Si $x = \dfrac{H_1}{OC}$ , de $x=\dfrac{H_{n+1} -H_{n-1}}{B_n}$ , con n par, resulta $H_{n+1} = xB_n + H_{n-1}$ , y de $x=\dfrac{B_{n-1} -B_{n+1}}{H_n}$ , con n impar, $B_{n+1}= -xH_n + B_{n-1}$ .
Entonces si la secuencia $W_0, W_1, W_2, W_3, \ldots$ es la secuencia $B_0, H_1, B_2, H_3$ , tenemos, si el radio $OC = 1$ , $W_0=B_0=2, \ W_1=H_1=x$ , y $W_n = (-1)^{n-1} x W_{n-1} + W_{n-2}, \ n \ge 2$ . De donde resulta $W_2 = 2-x^2$ , $W_3 = 3x-x^3$ , y la tabla de polinomios siguiente (1615, $N=x, Q=x^2, C=x^3$ ):

Si llamamos $W_n(x)$ a estos polinomios, y $V_n(x)$ a los polinomios de Vieta de primera especie, es fácil demostrar a partir de sus leyes de formación que $W_n(x) = (-1)^{\lfloor n/2 \rfloor} V_n(x)$ , y por tanto
$W_n(x) = \displaystyle \sum_{k \ge 0} (-1)^{k+\lfloor n/2 \rfloor}\cdot \dfrac{n}{n-k} \dbinom{n-k}{k} \cdot x^{n-2k}$ .

Si $\alpha=\angle CPC_1$ , y el radio de la circunferencia es 1, $x = H_1= 2 \sin \alpha$ , $B_2 = 2 \cos 2 \alpha$ , $H_3 = 2 \sin 3 \alpha, \ldots$

Entonces, si n es impar, $H_n= 2\sin n\alpha = W_n(2 \sin \alpha)$ , y si n es par, $B_n = 2 \cos n\alpha= W_n(2 \sin \alpha)$ .
Y como $W_n(x) = (-1)^{\lfloor n/2 \rfloor} V_n(x)$ , y los polinomios $T_n(x)$ de Chebyshev de primera especie son $T_n(x) = V_n(2x)/2$ , tenemos si n es impar, $\sin n \alpha = (-1)^{\lfloor n/2 \rfloor} T_n(\sin \alpha)$ , y si n es par $\cos n \alpha = (-1)^{n/2} T_n(\sin \alpha)$ .

Se demostró en la entrada anterior que, para todo n, $T_n(\cos \alpha) = \cos n \alpha$ . Las identidades anteriores nos dicen como cambia el valor de $T_n(\cos \alpha)$ si cambiamos ‘cos’ por ‘sin’:
Si $n = 4k, \ T_n(\sin \alpha) = T_n(\cos \alpha) = \cos n \alpha$
Si $n = 4k+2, \ T_n(\sin \alpha) = -T_n(\cos \alpha) = - \cos n \alpha$
Si $n = 4k+1, \ T_n(\sin \alpha) = \sin n \alpha$
Si $n = 4k+3, \ T_n(\sin \alpha) = -\sin n \alpha$

Guirnalda matemática

Sobre historia de la geometría antigua y otros temas

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