Polinomios de Vieta (y 3)

Después de los polinomios de primera y segunda especie, presentamos la tercera familia de polinomios de Vieta, que es una alteración de la primera.

Teorema VIII.
Este teorema enuncia el caso en que tomamos la diferencia entre las cuerdas en el teorema del ‘invariante de Vieta’, por el que , en la figura, \dfrac{H_1}{OC} = \dfrac{2H_1}{B_0} = \dfrac{B_0-B_2}{H_1} = \dfrac{H_3-H_1}{B_2} = \ldots

Teorema IX.
Si x = \dfrac{H_1}{OC},   de x=\dfrac{H_{n+1} -H_{n-1}}{B_n},   con n par, resulta H_{n+1}  =  xB_n + H_{n-1},   y de x=\dfrac{B_{n-1} -B_{n+1}}{H_n} ,   con n impar, B_{n+1}= -xH_n + B_{n-1}.
Entonces si la secuencia W_0, W_1, W_2, W_3, \ldots es la secuencia B_0, H_1, B_2, H_3, tenemos, si el radio OC = 1,   W_0=B_0=2, \  W_1=H_1=x, y W_n = (-1)^{n-1} x W_{n-1} + W_{n-2}, \ n \ge 2.   De donde resulta W_2 = 2-x^2,   W_3 = 3x-x^3, y la tabla de polinomios siguiente (1615, N=x, Q=x^2, C=x^3):

Si llamamos W_n(x) a estos polinomios, y V_n(x) a los polinomios de Vieta de primera especie, es fácil demostrar a partir de sus leyes de formación que W_n(x) = (-1)^{\lfloor n/2 \rfloor} V_n(x),   y por tanto
W_n(x) =   \displaystyle \sum_{k \ge 0} (-1)^{k+\lfloor n/2 \rfloor}\cdot \dfrac{n}{n-k} \dbinom{n-k}{k} \cdot x^{n-2k}.

Si \alpha=\angle CPC_1, y el radio de la circunferencia es 1, x = H_1= 2 \sin \alpha, B_2 = 2 \cos 2 \alpha, H_3 = 2 \sin 3 \alpha, \ldots

Entonces, si n es impar, H_n= 2\sin n\alpha = W_n(2 \sin \alpha) , y si n es par, B_n = 2 \cos n\alpha= W_n(2 \sin \alpha).
Y como W_n(x) = (-1)^{\lfloor n/2 \rfloor} V_n(x), y los polinomios T_n(x) de Chebyshev de primera especie son T_n(x) = V_n(2x)/2, tenemos si n es impar, \sin n \alpha = (-1)^{\lfloor n/2 \rfloor} T_n(\sin \alpha), y si n es par \cos n \alpha = (-1)^{n/2} T_n(\sin \alpha).

Se demostró en la entrada anterior que, para todo n, T_n(\cos \alpha) = \cos n \alpha. Las identidades anteriores nos dicen como cambia el valor de T_n(\cos \alpha) si cambiamos ‘cos’ por ‘sin’:
Si n = 4k, \ T_n(\sin \alpha) = T_n(\cos \alpha) = \cos n \alpha
Si n = 4k+2, \ T_n(\sin \alpha) = -T_n(\cos \alpha) = - \cos n \alpha
Si n = 4k+1, \ T_n(\sin \alpha) = \sin n \alpha
Si n = 4k+3, \ T_n(\sin \alpha) = -\sin n \alpha

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