Primos gaussianos

En la entrada anterior obtuvimos que todo entero gaussiano se descompone en forma única en producto de factores primos. En esta determinamos cuáles son los primos gaussianos.
Descomposición de en primos (formato a+bi):

[-113+319i] = [-i][1+i][1+2i][3+2i][16+25i]


Todo primo (a+bi) de \mathbb{Z}[i] divide a algún primo de \mathbb{Z}, porque (a+bi) divide a su norma (a+bi)(a-bi) que es un entero de \mathbb{Z} y por el teorema de factorización única en \mathbb{Z}[i], si (a+bi) es primo divide a alguno de los primos de \mathbb{Z} que son factores de la norma. Basta entonces considerar los divisores de los primos en \mathbb{Z} para obtener todos los primos de \mathbb{Z}[i].
Por otro lado, si la norma de w \in \mathbb{Z}[i] es un primo de \mathbb{Z}, w es un primo en \mathbb{Z}[i], porque como la norma es múltiplicativa, la norma de un divisor propio (distinto de un asociado y de una unidad) de w es un divisor propio de la norma de w, lo que no es posible si esta es un primo. Entonces w no tiene divisores propios y por tanto es primo.

Como 2=-i(1+i)^2, y la norma de 1+i es 2, \ (1+i) y sus asociados son primos de \mathbb{Z}[i].
Si p es un primo de \mathbb{Z} de la forma 4k+1, por el teorema de Girard-Fermat, p=a^2+b^2= (a+bi)(a-bi), y estos dos factores son primos de \mathbb{Z}[i] porque su norma es un primo.
La norma de un divisor propio de un primo p de \mathbb{Z} de la forma 4k+3, tendría que ser p, pero considerando restos al dividir por 4, p no puede ser suma de dos cuadrados, y entonces no tiene divisores propios y p y sus asociados son primos en \mathbb{Z}[i].

Por tanto los primos en \mathbb{Z}[i] son:

  • 1+i y sus asociados

  • los divisores (a+bi) y (a-bi) de los primos de \mathbb{Z} de la forma 4k+1, y sus asociados

  • los primos de \mathbb{Z} de la forma 4k+3 y sus asociados

Como uno de los 4 asociados g, ig, -g, -ig, está en el primer cuadrante del plano complejo, todo entero gaussiano se descompone en forma única como producto de una unidad por primos del primer cuadrante.

Un comentario sobre “Primos gaussianos

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