Sobre la esfera y el cilindro I.21

La proposición 21 del libro I de Sobre la esfera y el cilindro, de Arquímedes, dice así:
Si en un círculo se inscribe un polígono equilátero de un número par de lados y se trazan segmentos que unan los ángulos del polígono de manera que estos sean paralelos a uno cualquiera de los segmentos que subtienden dos lados del polígono, la suma de todos esos segmentos es al diámetro del círculo como el segmento que subtiende la mitad de los lados menos uno es al lado del polígono.

Es decir, en la figura siguiente, la suma de los segmentos rojos es al segmento verde como BC es a AC.
Si usamos esa figura, la demostración de Arquímedes es:
Los triángulos rectángulos sombreados son semejantes entre sí y semejantes al triángulo rectángulo \triangle ABC.
Entonces la razón entre BC y AC es igual a la razón entre los lados rojo y verde de cada triángulo, que es igual (por Euclides V.12) a la razón entre la suma de los lados rojos y la suma de los lados verdes de todos los triángulos, que es el diámetro AB.

Si el polígono tiene 2n lados, el ángulo central que subtiende un lado es \pi/n, \angle ABC = \pi/2n y BC/AC = \cot(\pi/2n).
Por otro lado la cuerda que subtiende 2k lados es igual a 2R \sin(k\pi/n).
Entonces el resultado de Arquímedes es equivalente a la identidad trigonométrica:
            \sin \dfrac{\pi}{n} + \sin \dfrac{2 \pi}{n} + \ldots + \sin \dfrac{(n-1)\pi}{n} = \cot \dfrac{\pi}{2n}

Un comentario sobre “Sobre la esfera y el cilindro I.21

  1. Pingback: Sumas de diagonales | Guirnalda matemática