Sumas de cuadrados de diagonales I

En un polígono regular trazamos todas las diagonales desde un vértice.
Considerando los lados adyacentes a ese vértice como diagonales, si numeramos consecutivamente las diagonales tenemos que:
Proposición 1.   La suma de los cuadrados de las diagonales impares es igual a la suma de los cuadrados de las diagonales pares.
Proposición 2.   Cada una de esas sumas es igual al producto del número de lados por el cuadrado del radio de la circunferencia circunscrita al polígono.

Demostración de la proposición 1
Si el número de lados del polígono es impar, las diagonales pares son iguales a las impares en orden inverso y el resultado es trivial.

Si el número 2n de lados es par, designamos con d_1,\ldots,d_{2n-1} las diagonales del polígono de forma que d_1 y d_{2n-1} son lados del polígono, y d_k subtiende k lados.
Aplicando el teorema de Ptolomeo a los cuadriláteros de diferente color en la figura, tenemos d_k^2 = d_{k-1}^2 + d_1d_{2k-1}, es decir d_k^2 - d_{k-1}^2 = d_1d_{2k-1}, para k \le n.
La diferencia entre la suma de los cuadrados de impares y pares será (d_0 = 0) \sum_1^n (d_{2i-1}^2 - d_{2i-2}^2).
Si 1 \le 2i-1 \le n:
 \sum (d_{2i-1}^2 - d_{2i-2}^2) = d_1\sum d_{4i-3}.
Y si n < 2i-1 \le 2n-1, como d_k = d_{2n-k}:
\sum (d_{2i-1}^2 - d_{2i-2}^2) = \sum (d_{2n-2i+1}^2 - d_{2n-2i+2}^2) = -d_1 \sum d_{4n-4i+3}.

La suma \sum d_{4i-3} recorre todas las diagonales de la forma d_{ 4k+1 }, y la suma \sum d_{4(n-i)+3} todas las de forma d_{4k+3}. Basta entonces con demostrar que las sumas de las diagonales de esas formas son iguales en un polígono par.

Los segmentos verdes en la figura son las diagonales de la forma d_{4k+1}, y los segmentos rojos son las de la forma d_{4k+3}.

Los cuadriláteros sombreados en la figura son paralelogramos y por tanto el segmento verde y el rojo de cada cuadrilátero son iguales y son iguales la suma de los segmentos verdes y la de los rojos, es decir son iguales la suma de las diagonales de la forma d_{ 4k+1 } y la suma de las de la forma d_{ 4k+3 }, y tenemos demostrada la proposición.

(En la figura anterior los paralelogramos sombreados son rombos y los puntos rojos están alineados.)

Demostración de la proposición 2
De la proposición primera y del teorema de Pitágoras se deduce la segunda. Por no alargar esta entrada dejamos la demostración para la siguiente.

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