Sumas de cuatro cuadrados I

En esta entrada demostramos que el número de soluciones (x,y,z,w), con x,y,z,w impares positivos, de la ecuación  x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = 4n, donde  n es un impar dado, es igual a la suma de los divisores de  n. (Jacobi, 1828)

Partimos del hecho, demostrado en una entrada anterior, de que el número de soluciones (x,y) con x,y enteros, de x^2 + y^2 = n, es cuatro veces la diferencia entre el número de divisores de n de la forma 4k+1 y el número de los de la forma 4k+3. Si n no es un cuadrado, el número de soluciones (x,y) con x,y enteros positivos es esa diferencia, porque cada solución en positivos da lugar a cuatro soluciones en enteros, colocando signos.

Considerando restos módulo 4, si x,y son impares, x^2 + y^2 es el doble de un número impar y si x^2 + y^2 es el doble de un número impar entonces x,y son impares.

Designamos con N[\alpha] el número de soluciones positivas impares de la ecuación \alpha..
En lo que sigue todas las letras representan números impares positivos.

\displaystyle N[x^2+y^2+z^2+w^2\! = \!4n]  = \sum_{\substack{2p + 2q = 4n}} N[x^2 + y^2 \! = \! 2p] \cdot N[z^2 + w^2 \! =\! 2q]=
\displaystyle = \sum_{\substack{2p + 2q = 4n}} \left(\sum_{p'|p} (-1)^{(p'-1)/2}  \cdot \sum_{q'|q} (-1)^{(q'-1)/2} \right)  = \sum_{\substack{p + q = 2n}} \sum_{\substack{p'|p \\ q'|q }} (-1)^{(p'-q')/2} ,
porque (-1)^{(p'-1)/2}  \cdot  (-1)^{(q'-1)/2} es positivo si los impares p',q' son congruentes módulo 4 y negativo en otro caso.

En la última suma hay un término por cada solución (p',p'',q',q'') de la ecuación p'p''+q'q''=2n, con signo positivo si p'-q' es múltiplo de 4 y con signo negativo si no lo es.
Los términos correspondientes a soluciones con p' > q' se cancelan, porque hemos visto en la entrada anterior sobre la involución de Dirichlet que en esas soluciones hay tantos p' - q' múltiplos de 4 como no múltiplos.
Las soluciones con p' < q' se obtienen de las anteriores intercambiando p' con q' y p'' con q'' y por tanto también dan lugar a tantos términos positivos como negativos en el sumatorio.
Queda por evaluar la suma de los términos en que p' = q'. En ese caso cada término es positivo, y su suma será el número de esos términos, es decir el número de soluciones en impares positivos de p'(p''+q'') = 2n.
Por tanto \displaystyle N[x^2+y^2+z^2+w^2=4n]  = N[x(y+z) = 2n].
Como N[ x+y = 2n] = n, porque x puede tener cualquier valor impar 1,\ldots,2n-1, N[x(y+z) = 2n] = \sum_{d|n} N[y+z = 2n/d] = \sum_{d|n} n/d = \sum_{d|n} d .

Por tanto el número de soluciones positivas impares de la ecuación x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = 4n, con n impar, es la suma de los divisores de n.

El argumento anterior es de Dirichlet (1856). En la siguiente entrada usamos el resultado demostrado aquí para obtener el número de soluciones enteras de la ecuación x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = m, para cualquier m natural.


Esta entrada participa en la Edición 4.12310 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog Geometría Dinámica.