Sumas de cuatro cuadrados II

Demostramos que para todo número natural $m$ el número de soluciones $(x,y,z,w)$ , con $x,y,z,w$ enteros, de $x^2+y^2+z^2+w^2 = m$ es ocho veces la suma de los divisores de $m$ que no son múltiplos de cuatro. (Jacobi, 1834)

En el siguiente recuadro se puede comprobar ese teorema, para $m < 1000$ .
Además cuando $m$ es 4 veces un impar aparece en rojo la verificación del resultado de la entrada anterior sobre soluciones impares positivas.

Número de soluciones de
a² + b² +c² + d² =

Suma de los divisores impares de 204:
1 + 3 + 17 + 51 = 72.
Por tanto hay 24 x 72 = 1728 soluciones enteras de la ecuación anterior.

O bien, contando las soluciones con sus permutaciones y signos:

(  a,  b,  c,  d)     Perm. x Signos = Total
 

(  0,  2,  2, 14)     12         8      96
(  0,  2, 10, 10)     12         8      96
(  1,  1,  9, 11)     12        16     192
(  1,  3,  5, 13)     24        16     384
(  2,  6,  8, 10)     24        16     384
(  3,  5,  7, 11)     24        16     384
(  5,  7,  7,  9)     12        16     192

La suma de la última columna es ...   1728
Soluciones impares positivas: 72

La paridad de los términos
La paridad de los términos $a,b,c,d$ en las sumas $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = m$ de cuatro cuadrados de enteros viene dada por la clase módulo 4 de la suma $m$ :
Si la suma $m$ es de la forma $4k$ , todos los términos tienen la misma paridad.
Si la suma $m$ es de la forma $4k+1$ , 3 términos son pares y uno impar.
Si la suma $m$ es de la forma $4k+2$ , 2 términos son pares y dos impares.
Si la suma $m$ es de la forma $4k+3$ , 3 términos son impares y uno par.

Como $\binom{4}{1} = 4$ y $\binom{4}{2} = 6$ , observamos que:
Lema 1. Las representaciones de un número impar como suma de cuatro cuadrados de enteros en que el término de diferente paridad ocupa una determinada posición son un cuarto del total de representaciones, y las representaciones en las que ocupa una de dos determinadas posiciones son la mitad del total de representaciones.

Lema 2. Las representaciones de un número doble de un impar, es decir de la forma $4k+2$ , en que los dos primeros términos sean pares, y por tanto los dos últimos impares, son un sexto del total de representaciones.

Una transformación
La transformación $(a,b,c,d) \longrightarrow (a+b, a-b, c+d, c-d)$ convierte cada solución $(a,b,c,d)$ de $x^2+y^2+z^2+w^2 = m$ en una solución de $x^2+y^2+z^2+w^2 = 2m$ , en que los dos primeros términos tienen la misma paridad y los dos últimos también.

Y si sucede que los dos primeros términos tienen la misma paridad y los dos últimos también, la transformación inversa $(a,b,c,d) \longrightarrow ( \frac{a+b}{2},\frac{a-b}{2},\frac{c+d}{2},\frac{c-d}{2})$ convierte una solución $(a,b,c,d)$ de ese tipo de $x^2+y^2+z^2+w^2 = 2m$ en una solución de $x^2+y^2+z^2+w^2 = m$ .

$N[2m]$ en función de $N[m]$
Sea $N[m]$ el número total de soluciones $(a,b,c,d)$ , con $a,b,c,d \in \mathbb{Z}$ de $x^2+y^2+z^2+w^2 = m$ .

Si $m$ es par, es decir de la forma $2n$ , los términos de cada solución de $x^2+y^2+z^2+w^2 = 4n$ tienen la misma paridad y entonces la transformación anterior es una biyección entre las soluciones de $x^2+y^2+z^2+w^2 = 2n$ y las de $x^2+y^2+z^2+w^2 = 4n$ y por tanto $N[2n] = N[4n]$ .

Si $m$ es impar, el número de soluciones de $x^2+y^2+z^2+w^2 = m$ en que el término de diferente paridad está en una de las dos últimas posiciones es $N[m]/2$ por el lema 1, y el número de soluciones de $x^2+y^2+z^2+w^2 = 2m$ en que los dos primeros términos son pares y los dos últimos impares es $N[2m]/6$ por el lema 2.
Como la transformación anterior también establece una biyección entre esos dos conjuntos de soluciones, $N[m]/2 = N[2m]/6$ , es decir, para todo $m$ impar $N[2m] = 3N[m]$ .

Por tanto si $m$ es par $N[2m]=N[m]$ y si $m$ es impar $N[2m]=3N[m]$ .

El número de soluciones
Entonces, si $p$ es impar $N[4p] = 3N[p]$ .
Por otro lado, como los términos de cada solución de $x^2+y^2+z^2+w^2 = 4p$ tienen la misma paridad, $N[4p]$ es la suma del número de soluciones con todos los términos pares más el número de soluciones con todos los términos impares.

El número de soluciones de $x^2+y^2+z^2+w^2 = 4p$ con todos los términos pares es $N[p]$ porque dividiendo cada término de esas soluciones entre 2 tenemos una biyección entre las soluciones de $x^2+y^2+z^2+w^2 = 4p$ en que los términos son pares y todas las soluciones de $x^2+y^2+z^2+w^2 = p$ .

Entonces el número de soluciones de $x^2+y^2+z^2+w^2 = 4p$ con todos los términos impares es $2N[p]$ .
Pero esas soluciones se obtienen a partir de las soluciones con los términos impares positivos, colocando signos de 16 formas posibles, y por tanto el número de esas soluciones para $p$ impar, por el resultado obtenido en la entrada anterior, es $16\sigma(p)$ , donde $\sigma(p)$ es la suma de los divisores de $p$ .
Entonces, si $p$ es impar, $2N[p]= 16 \sigma(p)$ y $N[p] = 8\sigma(p)$ .

Por tanto el número de soluciones enteras $(a,b,c,d)$ de $x^2+y^2+z^2+w^2 = m$ es 8 veces la suma de los divisores de $m$ si $m$ es impar o 24 veces la suma de los divisores impares de $m$ si $m$ es par.

O, dicho de otra forma, el número de soluciones enteras $(a,b,c,d)$ de $x^2+y^2+z^2+w^2 = m$ es 8 veces la suma de los divisores de $m$ que no son múltiplos de 4.

Esta entrada participa en la Edición 4.12310 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog Geometría Dinámica.

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Sobre historia de la geometría antigua y otros temas

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