Sumas de diagonales

Por la proposición I.21 de Sobre la esfera y el cilindro, de Arquímedes, la suma de las diagonales trazadas desde un vértice que subtienden un número par de lados de un polígono regular par es a la diagonal mayor como la siguiente diagonal es a un lado.

Como las diagonales pares de un polígono de 2n lados inscrito en una circunferencia son todas las diagonales (lados incluidos) de un polígono de n lados inscrito en la misma circunferencia, obtenemos una fórmula para la suma de todas las diagonales de un polígono de n lados a partir del polígono de 2n lados inscrito en la misma circunferencia con vértices compartidos:

En las figuras, por semejanza de los triángulos rectángulos \triangle ABC y \triangle CBE, tenemos que CB/CA = EB/EC = 2EB/CD.
Como EB es la suma de los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita al polígono de n lados, podemos reformular el resultado de Arquímedes en la forma:

En un polígono regular, la suma de las diágonales desde un vértice (incluidos los lados adyacentes) es al diámetro de la circunferencia circunscrita como la suma de los diámetros de las circunferencias inscrita y circunscrita es a un lado.

Es decir, si d_k es la diagonal de un polígono regular que subtiende k lados, r y R son los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita, y L = d_1 = d_{n-1} es un lado del polígono tenemos que
            \dfrac{\sum_1^{n-1} d_{i}}{2R} = \dfrac{2(R+r)}{L}       ó       \sum_1^{n-1} d_{i} =  \dfrac{4R(R+r)}{L}.

Podemos obtener un segmento igual a la mitad de la suma de las diagonales de un polígono regular con número impar de lados trazando solo dos rectas:

Si en un polígono impar, como en la figura, dos lados opuestos AB y CD se cortan en un punto H, AH = CH = \sum d_k/2, es decir AH=CD+CE+CB.

Porque \angle OAM = \angle OCD, los triángulos rectángulos \triangle OAM y \triangle HCM son semejantes y CH/CM = OA/AM, y como la altura CM=R+r   y   AM=L/2,         CH = \dfrac{2R(R+r)}{L} = \dfrac{\sum_1^{n-1} d_i}{2}.

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