Superficies transversales

Sea en el espacio una superficie algebraica de grado n y un cuadrilátero ABCD, en general alabeado, cuyos lados o sus prolongaciones cortan a la superficie cada uno en n puntos.
Si designamos con (XY) el producto de las distancias desde X hasta los puntos de intersección de la recta XY con la superficie, se cumple:
\dfrac{(AB)\cdot (BC) \cdot (CD)\cdot (DA)}{(AD)\cdot (BA)\cdot (CB)\cdot (DC)} = 1.
Análogamente sucede para un polígono de cualquier número de lados.

Porque trazando desde A las diagonales al resto de los vértices, el plano de cada triángulo sucesivo \triangle ABC, \triangle ACD, \ldots corta en la superficie de grado n una curva de grado n y aplicando el teorema de Carnot sobre curvas transversales a esos triángulos y multiplicando las ecuaciones, se cancelan los términos correspondientes a las diagonales desde A.

En el caso de que la superficie sea de primer grado, es decir en el caso de que sea un plano, resulta \dfrac{AP \cdot BQ \cdot CR\cdot DS}{AS\cdot BP \cdot CQ\cdot DR} = 1 , si P,Q,R,S son la intersección respectivamente de los lados AB,BC,CD,DA del cuadrilátero con el plano.
En este caso esa condición es además suficiente para que los puntos P,Q,R,S sean coplanarios, tomando las razones \dfrac{AP}{BP} con signo, porque por 3 puntos del espacio pasa un plano y un valor \dfrac{AP}{BP} determina unívocamente un punto P en la recta AB.

Por otro lado en el caso de la superficie sea de segundo grado, es decir en el caso de que sea una cuádrica, y los dos puntos de interseccion de cada lado con la cuádrica se fundan en uno, es decir cuando los lados del cuadrilátero o sus prolongaciones sean tangentes a la superficie, resultará \dfrac{AP \cdot BQ \cdot CR\cdot DS}{AS\cdot BP \cdot CQ\cdot DR} = 1 si P,Q,R,S son los puntos de tangencia de los lados del cudrilátero con la cuádrica.

Pero esa condición es suficiente para que esos puntos sean coplanarios, y por tanto si los lados de un cuadrilátero alabeado o sus prolongaciones son tangentes a una cuádrica, los cuatro puntos de tangencia están en un mismo plano.

Esta última proposición aparece en la nota de la página 14 de la Memoire sur les lignes du second ordre… (1817) de Brianchon y las anteriores en los artículos 379-381 de la Geómetrie de position (1803) de Carnot.

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