Tasa de barrido y fuerzas centrales

La proposición 6 de los Principia de Newton es válida para fuerzas ejercidas en puntos de la misma o de diferentes trayectorias, pero las proporciones obtenidas en los corolarios de esa proposición solo comparan fuerzas en puntos de una misma trayectoria, o de trayectorias diferentes siempre que el área barrida (por el radio entre el centro de fuerzas y el punto móvil) sea la misma en tiempos iguales en las diferentes trayectorias. (Porque en la demostración de esos corolarios se supone que las áreas barridas son proporcionales a los tiempos).

Como una fuerza central obliga a barrer áreas iguales en tiempos iguales en cada trayectoria, pero no a que esas áreas barridas sean iguales en distintas trayectorias, para comparar fuerzas en diferentes trayectorias introducimos un factor \tau , la tasa de barrido, que es el área barrida por unidad de tiempo, \tau = \dfrac{\text{area}}{\Delta t} \ \Longrightarrow \ \Delta t = \dfrac{\text{area}}{\tau}.

Los corolarios de la proposición 6 se obtuvieron sustituyendo \Delta t por el área en el factor \dfrac{1}{\Delta t^2}. Si sustituimos teniendo en cuenta el factor \tau, el numerador de las fórmulas obtenidas en los corolarios 6.1-3 queda multiplicado por \tau^2 y el corolario 6.3 se convierte en F_P \propto \dfrac{\tau^2}{PV \cdot SY^2}, donde SY es la distancia del centro de fuerzas a la tangente y PV es la cuerda de la circunferencia osculatriz a la trayectoria en P que pasa por el centro de fuerzas S.

De la misma forma generalizamos el corolario 1 de la proposición 1 que dice que la velocidad v_P es inversamente proporcional a la distancia SY si las áreas barridas son iguales en tiempos iguales.
Como el área barrida es claramente proporcional a la velocidad, tendremos la nueva proporción v_P \propto \dfrac{\tau}{SY}, que es válida para puntos en diferentes trayectorias producidas por una fuerza central.

Entonces el corolario 6.4: F_P \propto \dfrac{v_P^2}{PV} es válido sin modificaciones para comparar fuerzas en puntos de diferentes trayectorias producidas por una fuerza central.

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