Teorema de Carnot sobre curvas transversales

Sea un triángulo ABC y una curva algebraica de grado n que corta a cada lado del triángulo en n puntos.

Designamos con (XY) el producto de las distancias desde el punto  X a los puntos de intersección de la recta XY con la curva.
En la figura (AB) = AC_1 \cdot AC_2,   (BA) = BC_1 \cdot BC_2, etc.

Entonces (AB)(BC)(CA) = (AC)(BA)(CB).

La demostración siguiente aparece en el artículo 378 de la Géométrie de position de Carnot, con la notación anterior y esta figura:

Trazamos por A una recta AK paralela a BC. Por un teorema de Newton, \dfrac{(AK)}{(AB)} = \dfrac{(BC)}{(BA)}   y   \dfrac{(AK)}{(AC)} = \dfrac{(CB)}{(CA)}.     Despejando AK tenemos (AB)(BC)(CA) = (AC)(BA)(CB),   como queríamos demostrar.

Si la curva tiene grado 1, es decir si es una recta, tenemos como caso particular el teorema de Menelao.

Poncelet da otra demostración (art. 150 de su Traité…) observando que, como \dfrac{(AB)(BC)(CA) }{(AC)(BA)(CB)}, desarrollado en sus términos, por su criterio, es un invariante proyectivo, el teorema se reduce al de Newton, pues proyectando el vértice A al infinito, \dfrac{(AB)}{(AC)} = 1 y los lados BA,CA se hacen paralelos.

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