Si una curva (azul) tiene una cuerda CD, la curva (roja) que resulta de aplicar a la curva original (azul) la traslación definida por el vector CD corta a la curva original en el punto D.

Por tanto no existen cuerdas en la curva original iguales al vector que define una traslación si y solo si la curva trasladada y la curva original no tienen ningún punto en común.

En el recuadro tenemos una curva continua entre A y B (en azul) y las resultantes de trasladarla paralelamente a AB unas distancias d (en rojo), 2d (en verde) y 3d (en naranja). El valor de d se modifica moviendo el punto rojo.

Si la curva trasladada una distancia d no corta a la curva continua original, tampoco cortarán a la curva original las curvas trasladadas distancias n·d, para todo n natural, pues en ese caso la curva (roja) trasladada una distancia d separa la curva original (azul) de las demás.

Entonces, por la observación inicial, si en la curva continua entre A y B no existen cuerdas paralelas a AB de longitud d tampoco existirán cuerdas paralelas a AB de longitud n·d para todo n.
Por tanto, como existe la cuerda AB en cualquier curva continua entre A y B, existirán necesariamente en todas esas curvas cuerdas paralelas a AB de longitud AB/n para todo n natural.

Por otro lado, para cualquier longitud L diferente de AB/n existen curvas continuas entre A y B que no tienen ninguna cuerda de longitud L paralela a AB.
En particular existen curvas que no tienen cuerdas paralelas a AB de longitud L, para todo L entre AB/(n+1) y AB/n.

Por ejemplo, para construir una curva continua entre A=(0,0) y B=(1,0) que no tenga cuerdas paralelas a AB de longitud L para 1/4 < L < 1/3, por los puntos (i/3,0), i=0,1,2,3 trazamos rectas (verdes) de pendiente 1 y por los puntos (k/4,0), k=1,2,3 trazamos rectas (rojas) de pendiente -1.

A continuación formamos una quebrada (azul) entre A y B uniendo puntos de intersección de esas rectas situados alternativamente por encima y por debajo de la cuerda AB, como en la figura.
Esa quebrada es una curva continua entre A y B que no tiene cuerdas paralelas a AB de longitud L para 1/4 < L < 1/3, como se ve en el recuadro interactivo de más arriba.

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Los resultados expuestos se conocen como ‘Teorema de la cuerda universal‘ y aparecen por primera vez en Paul Levy, “Sur une Généralisation du Théorème de Rolle“, C. R. Acad. Sci., Paris, 198 (1934) 424–425, de donde está tomada la demostración de la primera parte. La de la segunda está tomada de Yaglom & Yaglom, “Challenging mathematical problems…“, prob.119.
Otra demostración simple se puede ver en el blog blocdemat.

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Esta entrada participa en la Edición 7.8 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza el blog “Que no te aburran las M@tes” cuyo anfitrión es Elisa Benítez Jiménez