Teorema de Minkowski

El teorema de Minkowski para \mathbb{R}^2 dice:

Sea un retículo en \mathbb{R}^2 y S una figura convexa y simétrica respecto a un punto O del retículo. Si el área de S es mayor que 4 veces el área de una celda del retículo, en el interior de S existe un punto P del retículo distinto de O.

La demostración es fácil:
Recortando el plano por la líneas rojas y superponiendo los trozos, como el área de S es mayor que el área coloreada, habrá dos puntos H y H' en el interior de S que se superpongan.

Entonces, si H'' es el simétrico de H' respecto a O, H'' está en S porque S es simétrica respecto a O, y el punto medio de H y H'' también está en S, porque S es convexa, y está en el retículo y es diferente de O, porque, tomando vectores con centro O, H' = H-2v, donde v es uno de los dos vectores generadores del retículo, y entonces H''= -H' = -H+2v, y \dfrac {H+H''}{2} = v.

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