Teoremas de Barbier

Demostramos aquí el teorema del hilo de Barbier, usado en la entrada anterior, y obtenemos como corolario el teorema de Barbier sobre curvas de ancho constante.

Preparamos el escenario dibujando en un plano base una figura cualquiera (en la ilustración una circunferencia) y obteniendo las imágenes que resultan de trasladarla repetidamente en dos direcciones perpendiculares la misma distancia.

Tomamos como unidad de longitud esa distancia de traslación, que en la ilustración es el lado de un cuadrado trazado con lineas de puntos. Las figuras contenidas en cada uno de esos cuadrados 1×1 son iguales.

Consideramos el experimento consistente en lanzar al azar un segmento de recta de longitud h sobre el plano así decorado, con la misma probabilidad de caer en cualquier posición y orientación, y contar el número de intersecciones del segmento con la figura dibujada en el plano.

Ese número de intersecciones es una variable aleatoria discreta que tendrá una distribución de probabilidad determinada (que depende de la longitud del segmento y de la figura del plano), con una esperanza matemática E = \sum i \cdot p_i, donde p_i es la probabilidad de que se produzcan exactamente i intersecciones en el experimento.

Ahora consideramos el experimento consistente en lanzar n segmentos de la misma longitud unidos entre sí. La unión entre segmentos puede ser rígida, formando dos segmentos un ángulo fijo, o flexible, formando los segmentos al caer un ángulo al azar. Y los segmentos pueden ser unidos por los extremos o por cualquier otro punto.

En cualquiera de los casos cada segmento del conjunto, considerado individualmente, al caer tendrá una posición y orientación al azar y el número de intersecciones del segmento con la figura del plano tendrá la misma distribución de probabilidad que si se hubiese tirado suelto.

Como el número de intersecciones del conjunto de n segmentos unidos es la suma del número de intersecciones de cada segmento, la esperanza matemática del número de intersecciones del conjunto será la suma de las esperanzas de cada uno de los segmentos, que, por el párrafo anterior, será n veces la esperanza del número de intersecciones de uno de los segmentos.

Por tanto para diferentes figuras que se lancen formadas por segmentos de la misma longitud h, la esperanza matemática del número de intersecciones con la figura del plano es proporcional al número de segmentos de que se compone, es decir a la longitud de la figura, y no depende de su forma.

Esto vale para cualquier h tan pequeño como queramos, y cualquier figura (que consideramos) es el límite de figuras polígonales formadas por segmentos iguales cuando la longitud de esos segmentos tiende a cero, y la esperanza de intersecciones de la figura límite es el límite de las esperanzas de esas figuras poligonales.

Por tanto para cualquier figura que se tira formada por segmentos de rectas y de curvas la esperanza matemática E del número de intersecciones no depende de la forma de la figura y es proporcional a la suma F de las longitudes de los elementos de que se compone, es decir E = k_1 \cdot F, donde k_1 es una constante que depende de la figura en el plano base.

De la misma forma se demuestra que para una figura que se tira de longitud dada y diferentes figuras del plano base, la esperanza matemática del número de intersecciones es proporcional a la longitud B de la figura del plano base en cada cuadrado 1×1 , porque esa figura también se puede aproximar por poligonales de segmentos iguales y la esperanza de intersecciones con dos segmentos iguales es el doble que la esperanza con un segmento. Por tanto E = k_2 \cdot B, donde k_2 depende de la longitud de la figura que se tira (una circunferencia en la ilustración).

Por tanto E = k \cdot B \cdot F, donde k es una constante (que, como hemos tomado el lado del cuadrado 1×1 como unidad de longitud, depende solo del hecho de que tiramos una figura sobre el plano con la misma probabilidad de caer en cualquier posición y orientación).

Queda por determinar el valor de k, lo que es fácil decorando cada cuadrado 1×1 con un solo segmento de longitud 1 paralelo a un lado del cuadrado (la figura resultante en el plano serán rectas paralelas) y tomando como figura que se tira una circunferencia de diámetro 1. Entonces en cada tirada se producirán 2 intersecciones con probabilidad 1, y E = 2 = k \cdot 1 \cdot \pi, porque en este caso B=1 y F=\pi. Por tanto k = 2/\pi.

Por tanto en general la esperanza del número de intersecciones es E = \dfrac{2 \cdot B \cdot F}{\pi}, donde B es la longitud de la figura en un cuadrado 1×1 del plano base y F la longitud de la figura que se tira. Y esta esperanza es independiente de la forma de las figuras.
Este es el teorema del hilo de Barbier enunciado en la entrada anterior.

Con otra unidad de longitud los cuadrados 1×1 serán cuadrados d x d y la fórmula para la esperanza de intersecciones será E = \frac{2 B F }{ \pi d^2}.

Si tiramos una curva cerrada convexa de ancho constante d sobre un plano con rectas paralelas en que la distancia entre paralelas es d, la esperanza de intersecciones también será E=2, y por la fórmula de Barbier 2 = 2 d F / \pi d^2, de donde en este caso F = \pi d, es decir el perímetro de una curva de ancho constante d es \pi d.
Este es el teorema de Barbier sobre curvas de ancho constante.


Referencias
E.Barbier. Note sur le problème de l’aiguille et le jeu du joint couvert.
Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 2.5 , (1860), p.279

D.A.Klain-G.C.Rota. Introduction to Geometric Probability. Cap.1.1.


Esta entrada participa en la Edición 7.7 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Los Matemáticos no son gente seria.

Un comentario sobre “Teoremas de Barbier

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