Trisecciones y “pentasecciones” de ángulos con regla y compás

Introducción

Sea dado en el plano un ángulo \alpha = \dfrac{360^{ \circ }}{n}, con n natural.
En esta entrada se muestra como una mirada a Euclides IV.16 nos lleva a los siguientes resultados:

  • Si n no es múltiplo de 3, podemos trisecar \alpha con regla y compás.

  • Si n no es múltiplo de 5, podemos dividir \alpha con regla y compás en 5 partes iguales.

  • Si n no es múltiplo de 7, y tenemos en el plano un heptágono regular, podemos dividir \alpha con regla y compás en 7 partes iguales.

Un ejemplo típico de ángulo trisecable pero no construible es 3\pi/7. El resultado anterior implica que además ese ángulo es divisible con regla y compás en 9 partes iguales y en 5 partes iguales.

Euclides IV.16

En la proposición 16 del libro IV de los Elementos, Euclides muestra como construir con regla y compás un pentadecágono regular, de la siguiente forma.
Inscribimos en un círculo un triángulo y un pentágono equiláteros que comparten un vértice A. Si suponemos dividida la circunferencia en 15 partes iguales desde A, el arco AC tendrá 5 partes y el AB 3 partes. Entonces la diferencia BC son 2 partes, y construyendo el punto medio E del arco BC obtenemos un lado BE del pentadecágono regular.

(Euclides podría haberse ahorrado la bisección del arco BC observando que el segmento CF es directamente un lado del pentadecágono regular.)

Trisecciones

El mismo método nos permite trisecar con regla y compás los ángulos de cualquier polígono regular con un número n de lados que no sea múltiplo de 3, porque entonces n=3k \pm 1, y si circunscribimos una circunferencia al polígono de n lados e inscribimos en esa circunferencia un triángulo equilátero que comparte un vértice A con el polígono, el segmento menor BC entre un vértice del triángulo y uno del polígono es un lado del polígono de 3\cdot n lados inscrito en la circunferencia.

División en 5 partes

Como un pentágono regular se puede inscribir en un círculo con regla y compás y, si n no es múltiplo de 5, n=5k \pm 1 o n= 5k \pm 2, el mismo método nos permite inscribir en una circunferencia con regla y compás un polígono de 5\cdot n lados, si tenemos un polígono de n lados y n no es múltiplo de 5.
En la figura n=7=5+2 y bisecando el arco BC obtenemos un lado del polígono regular de 35 lados inscrito en el círculo.
Por tanto podemos dividir \angle AOB en 5 partes iguales con regla y compás.

División en 7 partes

Si tenemos dados un polígono de n lados y un heptágono, podemos inscribir con regla y compas un heptágono en la circunferncia circunscrita al polígono de n lados.
Si n no es múltiplo de 7, entonces n=7k \pm 1 o n=7k \pm 2 o n=7k \pm 4, y, bisecando un arco dos veces si hace falta, con el método anterior inscribimos un polígono de 7 \cdot n lados en el círculo y por tanto podemos dividir los ángulos de esos polígonos de n lados en 7 partes iguales.


Esta entrada participa en la Edición 3.141592653 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog Que no te aburran las M@TES.

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