Trisecciones y “pentasecciones” de ángulos con regla y compás

Introducción

Sea dado en el plano un ángulo $\alpha = \dfrac{360^{ \circ }}{n}$ , con $n$ natural.
En esta entrada se muestra como una mirada a Euclides IV.16 nos lleva a los siguientes resultados:

Si $n$ no es múltiplo de 3, podemos trisecar $\alpha$ con regla y compás.
Si $n$ no es múltiplo de 5, podemos dividir $\alpha$ con regla y compás en 5 partes iguales.
Si $n$ no es múltiplo de 7, y tenemos en el plano un heptágono regular, podemos dividir $\alpha$ con regla y compás en 7 partes iguales.

Un ejemplo típico de ángulo trisecable pero no construible es $3\pi/7$ . El resultado anterior implica que además ese ángulo es divisible con regla y compás en 9 partes iguales y en 5 partes iguales.

Euclides IV.16

En la proposición 16 del libro IV de los Elementos, Euclides muestra como construir con regla y compás un pentadecágono regular, de la siguiente forma.
Inscribimos en un círculo un triángulo y un pentágono equiláteros que comparten un vértice $A$ . Si suponemos dividida la circunferencia en 15 partes iguales desde $A$ , el arco $AC$ tendrá 5 partes y el $AB$ 3 partes. Entonces la diferencia $BC$ son 2 partes, y construyendo el punto medio $E$ del arco $BC$ obtenemos un lado $BE$ del pentadecágono regular.

(Euclides podría haberse ahorrado la bisección del arco $BC$ observando que el segmento $CF$ es directamente un lado del pentadecágono regular.)

Trisecciones

El mismo método nos permite trisecar con regla y compás los ángulos de cualquier polígono regular con un número $n$ de lados que no sea múltiplo de 3, porque entonces $n=3k \pm 1$ , y si circunscribimos una circunferencia al polígono de $n$ lados e inscribimos en esa circunferencia un triángulo equilátero que comparte un vértice $A$ con el polígono, el segmento menor $BC$ entre un vértice del triángulo y uno del polígono es un lado del polígono de $3\cdot n$ lados inscrito en la circunferencia.

División en 5 partes

Como un pentágono regular se puede inscribir en un círculo con regla y compás y, si $n$ no es múltiplo de 5, $n=5k \pm 1$ o $n= 5k \pm 2$ , el mismo método nos permite inscribir en una circunferencia con regla y compás un polígono de $5\cdot n$ lados, si tenemos un polígono de $n$ lados y $n$ no es múltiplo de 5.
En la figura $n=7=5+2$ y bisecando el arco $BC$ obtenemos un lado del polígono regular de 35 lados inscrito en el círculo.
Por tanto podemos dividir $\angle AOB$ en 5 partes iguales con regla y compás.

División en 7 partes

Si tenemos dados un polígono de $n$ lados y un heptágono, podemos inscribir con regla y compas un heptágono en la circunferncia circunscrita al polígono de $n$ lados.
Si $n$ no es múltiplo de 7, entonces $n=7k \pm 1$ o $n=7k \pm 2$ o $n=7k \pm 4$ , y, bisecando un arco dos veces si hace falta, con el método anterior inscribimos un polígono de $7 \cdot n$ lados en el círculo y por tanto podemos dividir los ángulos de esos polígonos de $n$ lados en 7 partes iguales.