Introducción
Sea dado en el plano un ángulo , con
natural.
En esta entrada se muestra como una mirada a Euclides IV.16 nos lleva a los siguientes resultados:
-
Si
no es múltiplo de 3, podemos trisecar
con regla y compás.
-
Si
no es múltiplo de 5, podemos dividir
con regla y compás en 5 partes iguales.
-
Si
no es múltiplo de 7, y tenemos en el plano un heptágono regular, podemos dividir
con regla y compás en 7 partes iguales.
Un ejemplo típico de ángulo trisecable pero no construible es . El resultado anterior implica que además ese ángulo es divisible con regla y compás en 9 partes iguales y en 5 partes iguales.
Euclides IV.16
En la proposición 16 del libro IV de los Elementos, Euclides muestra como construir con regla y compás un pentadecágono regular, de la siguiente forma.
Inscribimos en un círculo un triángulo y un pentágono equiláteros que comparten un vértice . Si suponemos dividida la circunferencia en 15 partes iguales desde
, el arco
tendrá 5 partes y el
3 partes. Entonces la diferencia
son 2 partes, y construyendo el punto medio
del arco
obtenemos un lado
del pentadecágono regular.
(Euclides podría haberse ahorrado la bisección del arco observando que el segmento
es directamente un lado del pentadecágono regular.)
Trisecciones
El mismo método nos permite trisecar con regla y compás los ángulos de cualquier polígono regular con un número
de lados que no sea múltiplo de 3, porque entonces
, y si circunscribimos una circunferencia al polígono de
lados e inscribimos en esa circunferencia un triángulo equilátero que comparte un vértice
con el polígono, el segmento menor
entre un vértice del triángulo y uno del polígono es un lado del polígono de
lados inscrito en la circunferencia.
División en 5 partes
Como un pentágono regular se puede inscribir en un círculo con regla y compás y, si
no es múltiplo de 5,
o
, el mismo método nos permite inscribir en una circunferencia con regla y compás un polígono de
lados, si tenemos un polígono de
lados y
no es múltiplo de 5.
En la figura y bisecando el arco
obtenemos un lado del polígono regular de 35 lados inscrito en el círculo.
Por tanto podemos dividir en 5 partes iguales con regla y compás.
División en 7 partes
Si tenemos dados un polígono de lados y un heptágono, podemos inscribir con regla y compas un heptágono en la circunferncia circunscrita al polígono de
lados.
Si no es múltiplo de 7, entonces
o
o
, y, bisecando un arco dos veces si hace falta, con el método anterior inscribimos un polígono de
lados en el círculo y por tanto podemos dividir los ángulos de esos polígonos de
lados en 7 partes iguales.
Esta entrada participa en la Edición 3.141592653 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog Que no te aburran las M@TES.
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