Los teoremas 4, 5 y 8 del tratado de Vieta “Ad angularium sectionum…“1 son casos particulares del hecho de que el valor de las expresiones indicadas en la figura es independiente de la posición del punto .
En la figura los puntos azules se pueden mover, o
según
esté en el exterior o interior de la circunferencia con centro
,
y
es el punto diametralmente opuesto a
.
Entonces y
son independientes de la posición de
.
Demostración.
Tomando como centro un punto de una circunferencia, trazamos otra circunferencia que corte a la primera en dos puntos
y
.
Si es un punto en la primera circunferencia , tomando longitudes de arcos, en la figura
, y
o
, según
esté está situado en el exterior o interior de la segunda circunferencia. (En la figura se pueden mover los puntos azules).
Si ahora
son longitudes de cuerdas y el radio es 1, en la figura
,
,
y
, según la situación del punto
por el párrafo anterior, porque los ángulos son las mitades de las longitudes de los arcos.
Por tanto, usando el signo más cuando está fuera de la circunferencia con centro
y el menos en otro caso,
.
Y como , resulta
, porque
y
.
El caso se reduce al anterior, pues usando la circunferencia con centro
que pasa por
y
, tenemos
, y como
y
está en el exterior de la circunferencia con centro
si está en el interior de la de centro
y viceversa, resulta
, donde tomamos el signo menos cuando
está en el exterior de la circunferencia con centro
.
1 – Vieta, “Ad angularium sectionum analyticen theoremata katolikotera” publicado en 1615 con demostraciones de Alexander Anderson, reproducido en la “Opera mathematica“, 1646, con el título “Ad angulares sectiones theoremata katolikotera“.
Traducción al inglés en www.17centurymaths.com y en François Viète, “The Analytic Art. Nine Studies in Algebra, Geometry and Trigonometry from the ‘Opus Restitutae Mathematics Analyseos, seu Algebra Nova’“. Trad. por T.Richard Witmer, Dover 2006 pags 418-450.
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