Un invariante de Vieta

Los teoremas 4, 5 y 8 del tratado de VietaAd angularium sectionum…1 son casos particulares del hecho de que el valor de las expresiones indicadas en la figura es independiente de la posición del punto P.

En la figura los puntos azules se pueden mover, S=1 o S=-1 según P esté en el exterior o interior de la circunferencia con centro C,   AC=BC   y   Q es el punto diametralmente opuesto a P.

Entonces \dfrac{PB + S\cdot PA}{PC} y \dfrac{PB - S\cdot PA}{QC} son independientes de la posición de P.


Demostración.

Tomando como centro un punto C de una circunferencia, trazamos otra circunferencia que corte a la primera en dos puntos A y B.

Si P es un punto en la primera circunferencia , tomando longitudes de arcos, en la figura PB=PC+AC, y PA=PC-AC o PA=AC-PC, según P esté está situado en el exterior o interior de la segunda circunferencia. (En la figura se pueden mover los puntos azules).

Si ahora PA,PB,\ldots son longitudes de cuerdas y el radio es 1, en la figura PC= 2 \sin \gamma, AC = 2 \sin \delta, PB = 2 \sin \beta = 2 \sin (\gamma+\delta) y PA = 2 \sin \alpha = 2 \sin \pm(\gamma - \delta) = \pm 2 \sin (\gamma-\delta), según la situación del punto P por el párrafo anterior, porque los ángulos son las mitades de las longitudes de los arcos.

Por tanto, usando el signo más cuando P está fuera de la circunferencia con centro C y el menos en otro caso, PB \pm PA = 2\sin(\gamma + \delta) + 2\sin(\gamma - \delta).
Y como    \sin(\gamma + \delta) + \sin(\gamma - \delta) = 2 \sin \gamma \cos \delta =  \sin \gamma \, \frac{\sin 2\delta}{\sin \delta},   resulta
\dfrac{PB \pm PA}{PC} = \dfrac{AB}{AC},   porque AC = 2\sin \delta   y   AB = 2 \sin \epsilon = 2 \sin 2\delta.

El caso \dfrac{PB \mp PA}{QC} = \dfrac{AB}{AC'}   se reduce al anterior, pues usando la circunferencia con centro C' que pasa por A y B, tenemos \dfrac{PB \pm PA}{PC'} = \dfrac{AB}{AC'}, y como PC' = QC y P está en el exterior de la circunferencia con centro C' si está en el interior de la de centro C y viceversa, resulta \dfrac{PB \mp PA}{QC} = \dfrac{AB}{AC'}, donde tomamos el signo menos cuando P está en el exterior de la circunferencia con centro C.


1Vieta, Ad angularium sectionum analyticen theoremata katolikotera” publicado en 1615 con demostraciones de Alexander Anderson, reproducido en la “Opera mathematica“, 1646, con el título “Ad angulares sectiones theoremata katolikotera“.
Traducción al inglés en www.17centurymaths.com y en François Viète, “The Analytic Art. Nine Studies in Algebra, Geometry and Trigonometry from the ‘Opus Restitutae Mathematics Analyseos, seu Algebra Nova’“. Trad. por T.Richard Witmer, Dover 2006 pags 418-450.

Un comentario sobre “Un invariante de Vieta

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