Un teorema de Carnot (art. 137)

La suma de las distancias desde el circuncentro de un triángulo a sus lados es igual a la suma de los radios de las circunferencias circunscrita e inscrita del triángulo, tomando con signo negativo la distancia al lado opuesto al ángulo obtuso, si lo tiene.

Este es uno de los resultados conocidos con el nombre de “teorema de Carnot“, demostrado en artículo 137 de su Géométrie de position con la figura adjunta.

El argumento de Carnot, con las letras de la figura siguiente y siendo s = a + b + c el semiperímetro de \triangle ABC, es:
El cuadrilátero AC'OB' es cíclico por los ángulos rectos en B' y C'. Entonces por el teorema que hoy llamamos de Ptolomeo:
a\cdot R = b \cdot d_C + c \cdot d_B
y permutando letras cíclicamente tenemos las ecuaciones
a\cdot R = b \cdot d_C + c \cdot d_B + a \cdot d_A - a \cdot d_A
b\cdot R = c \cdot d_A + a \cdot d_C + b \cdot d_B - b \cdot d_B
c\cdot R = a \cdot d_B + b \cdot d_A + c \cdot d_C - c \cdot d_C
que sumadas dan
s \cdot R = s \cdot (d_A+d_B+d_C) - [a\cdot d_A + b \cdot d_B + c \cdot d_C].
Pero los términos de la expresión entre corchetes son las áreas de \triangle OBC, \triangle OAC, \triangle OAB y por tanto su suma es igual al área de \triangle ABC = s \cdot r.
Entonces d_A+d_B+d_C = R + r.

Si \triangle ABC es obtusángulo,
a \cdot R = b \cdot d_C + c \cdot d_B
b \cdot R = -c \cdot d_A + a \cdot d_C
c \cdot R = a \cdot d_B - b  \cdot d_A,
y el área de \triangle ABC es la suma de las áreas de \triangle OAB, \triangle OAC menos el área de \triangle OBC, con lo que tomando d_A con signo negativo se cumple el resultado anterior.

Carnot concluye el artículo 137 con dos corolarios:

(1) – La suma de las distancias desde el ortocentro de un triángulo a sus vértices es igual a la suma de los diámetros de las circunferencias circunscrita e inscrita del triángulo, tomando con signo negativo la distancia al ángulo obtuso, si lo hay.
Porque la distancia del ortocentro a un vértice es el doble de la distancia del circumcentro al lado opuesto, resultado demostrado por Carnot en el artículo 131.

(2) – El radio de la circunferencia inscrita entre el radio de la circunferencia circunscrita es igual a la suma de los cosenos de los ángulos disminuida en 1.
Porque d_A = R \cos \angle A, \ d_B = R \cos \angle B, \ d_C = R \cos \angle C y entonces R + r = R( \cos \angle A + \cos \angle B + \cos \angle C) y r/R =   \cos \angle A + \cos \angle B + \cos \angle C - 1.

Comments are closed.