Un teorema de Newton

Sea una curva algebraica C(x,y)=0 de grado n y dos rectas que cortan a la curva en el plano real, cada una en n puntos.

Para cada recta, formamos el producto de las distancias desde el punto A de intersección de las dos rectas hasta los puntos de intersección de esa recta con la curva.

Para unas direcciones dadas de las rectas, la razón entre esos productos no depende del punto A, es decir si por otro punto B pasan dos rectas, paralelas a las que pasan por A, que cortan a la curva en n puntos, la razón entre los productos correspondientes es la misma.

Ese resultado está demostrado por Apolonio de Perga (200 a.C) en el libro III de las Cónicas, para las curvas de segundo grado.

A Newton (1703) se atribuye el resultado general, porque lo enuncia para las curvas de tercer grado en su Enumeratio linearun tertii ordinis, II.4 (original en latín aquí y traducción inglesa aquí), aunque queda claro por el título de la sección II, “Propiedades de las secciones cónicas aplicables a curvas de grado superior”, que la propiedad se extiende a curvas de cualquier grado.

Euler (1748) da una demostración elemental en el artículo 247 de la segunda parte de su Introductio in analysin infinitorum.
La demostración utiliza la figura adjunta, a la que hemos añadido la letra “C”, olvidada por el editor en la figura original.

La siguiente demostración es la que expone Lazare Carnot (1803) en los artículos 374-376 de su Géométrie de position.

Sea C(x,y)=0 una curva algebraica de grado n. Sea P(x,y) la ecuación de la curva al cambiar los ejes de coordenadas a las dos rectas que pasan por un punto P, con direcciones dadas. P(x,y) será del mismo grado que C(x,y).
Expresamos P(x,y) = ax^n + by^n + Z(x,y) + k = 0, con a,b,k constantes y Z(x,y) reuniendo los otros términos, que contienen a x o y elevados a una potencia menor que n.
Haciendo y=0, tenemos ax^n + Z(x,0) + k = 0, y las raices de esta ecuación son las distancias desde el origen P hasta la intersección de la curva con la recta que hace de eje de abcisas. Como ese eje corta a la curva en n puntos, a \neq 0.
El producto de esas distancias será \pm k/a, por las fórmulas de Cardano-Vieta.
De la misma forma, haciendo x=0, tenemos que el producto de las distancias desde P a las intersecciones con el eje de ordenadas será \pm k/b.
Entonces el cociente entre los productos de distancias será b/a.
Como los coeficientes de ax^n, by^n no varían al trasladar los ejes de coordenadas con origen en P a otro origen, manteniendo las direcciones de los ejes, es decir con la transformación x'=x+s, y'=y+t, tenemos demostrado el resultado.

Como observa Carnot en el artículo 377, lo mismo sucede con los segmentos que dos pares de rectas paralelas que pasan por dos puntos del espacio interceptan entre esos puntos y la superficie algebraica, pues un plano corta a una superficie algebraica en una curva algebraica.

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