Una construcción de la osculatriz


Dada una cónica y la tangente en un punto P (que no sea extremo de ejes) podemos obtener el centro de la circunferencia osculatriz en P de la siguiente forma:


Trazamos la simétrica de la tangente respecto a la paralela al eje por P, que cortará a la cónica en un punto K. La cuerda PK es entonces común a la cónica y a la osculatriz en P. (*)


El centro de curvatura N será entonces la intersección de la mediatriz de esa cuerda y de la normal perpendicular a la tangente en P, y la circunferencia con centro N que pasa por P será la osculatriz.

(*) Porque vimos en la entrada anterior que dos cuerdas PK y DE comunes a una cónica y a una circunferencia están igualmente inclinadas respecto al eje de la cónica. Cuando D y E se confunden con P, la cuerda DE se convierte en la tangente en P, la circunferencia que pasa por D,P,E en la circunferencia osculatriz en P, y la cuerda PK en la cuerda común a la cónica y a la osculatriz.



Fuente: G. Salmon. A treatise on conic sections. 1855. Art.247, pag.207.

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