Una construcción de la osculatriz

Dada una cónica y la tangente en un punto P (que no sea extremo de ejes) podemos obtener el centro de la circunferencia osculatriz en P de la siguiente forma:

Trazamos la simétrica de la tangente respecto a la paralela al eje por P, que cortará a la cónica en un punto K. La cuerda PK es entonces común a la cónica y a la osculatriz en P. (*)

El centro de curvatura N será entonces la intersección de la mediatriz de esa cuerda y de la normal perpendicular a la tangente en P, y la circunferencia con centro N que pasa por P será la osculatriz.

(*) Porque vimos en la entrada anterior que dos cuerdas PK y DE comunes a una cónica y a una circunferencia están igualmente inclinadas respecto al eje de la cónica. Cuando D y E se confunden con P, la cuerda DE se convierte en la tangente en P, la circunferencia que pasa por D,P,E en la circunferencia osculatriz en P, y la cuerda PK en la cuerda común a la cónica y a la osculatriz.