Una construcción de ‘s Gravesande

La proposición I.31 de los “Elementos” de Euclides es el problema de trazar por un punto dado una paralela a una recta dada.

Willem ‘s Gravesande, en “Matheseos universalis elementa” (1727) mostró como resolver el problema usando solamente la regla (“sine circuli operatione”), si en el plano tenemos trazado un paralelogramo dado.

Gravesande formula el problema así:

y la figura correspondiente es:


Se trata de trazar por el punto dado A una paralela a una recta dada BF, si disponemos solo de la regla y de un paralelogramo dado IKLM.

Construcción:
Obtenemos F,E,C,B, intersecciones de LM,KM,IM,KL con BF. Sea D la intersección de IK con AB, y G la intersección de AC con ED. Sea H la intersección de IK con FG.
Entonces la recta AH es paralela a BF.

Demostración:
Sea N la intersección de ED con {}FL.
Como IK es paralela a {}FL, \triangle ENM \simeq \triangle EDK y EN/ED = EM/MK.
Como \triangle EMC \simeq \triangle EKB, EM/EK = EC/EB, y por tanto EN/ND = EC/EB y NC, DB son paralelas. Entonces \triangle GNC \simeq \triangle GDA y GD/GN = GA/GC.
También, como IK y {}FL son paralelas, \triangle GDH \simeq \triangle GNF y GD/GN = GH/GF y por tanto GA/GC = GH/GF y AH es paralela a CF.

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