Una involución de Dirichlet

“Permíteme, querido amigo, volver un instante sobre la conversación que hemos tenido últimamente sobre el bello teorema de Jacobi relativo al número de descomposiciones de un entero en cuatro cuadrados, teorema que el iluste geómetra ha deducido primero de sus series elípticas y del que ha dado después una demostración aritmética….”

Así comienza el extracto de la carta de Lejeune-Dirichlet a Liouville, que éste publicó en su Journal de Mathematiques en 1856, y donde Dirichlet presenta una involución del conjunto de soluciones de xy+zw = n, para un n par dado, con x,y,z,w impares positivos y x > z.

Representamos una solución (a,b,c,d) de la ecuación a \cdot b + c \cdot d = n, con a,b,c,d impares positivos y a > c, como en la figura adjunta. donde tenemos representada la solución 5 \cdot 3 + 3 \cdot 3 = 24.

Como a,b,c,d son impares, a\! -\! c y b\!+\!d serán pares.

Transformamos una solución reflejando primero su figura sobre una recta vertical y dividiéndola en tantas partes de anchura a\! -\! c como podamos, de forma que tendremos una parte (1) de anchura a\! -\! c, y, según la anchura del resto, ninguna o varias partes (2) y finalmente una parte (3) con un resto no vacío porque la anchura total de la figura es impar y a\! -\! c es par.
Separamos las partes, todas de anchura a\! -\! c menos la última con anchura menor, manteniendo su orden, y giramos cada parte 90^{\circ}.
Uniendo las partes una vez giradas tendremos la figura

que representa otra solución (a',b',c',d') de la ecuación a \cdot b + c \cdot d = n, en este caso 15 \cdot 1 + 9 \cdot 1 = 24.

Es claro, por el procedimiento de transformación de (a,b,c,d) en (a',b',c',d') que

  • a',b',c',d' son impares positivos y   a' > c'.
  • a'-c' = b\!+\!d   y   b'+d' = a\! -\! c.
  • Aplicando la misma transformación a la solución (a',b',c',d') volvemos a obtener la solución original (a,b,c,d).

Entonces la transformación que acabamos de describir es una involución del conjunto de soluciones impares positivas (a,b,c,d) de a \cdot b + c \cdot d = n, con a > c, que intercambia los valores de a\! -\! c y b\!+\!d.

Soluciones impares, con a>c,
  de a·b+c·d =

 a x  b +  c x  d   a-c   b+d
 3 x  1 +  1 x 21     2    22
 5 x  1 +  1 x 19     4    20
 7 x  1 +  1 x 17     6    18
 3 x  3 +  1 x 15     2    18
 9 x  1 +  1 x 15     8    16
 9 x  1 +  3 x  5     6     6
 9 x  1 +  5 x  3     4     4
11 x  1 +  1 x 13    10    14
13 x  1 +  1 x 11    12    12
13 x  1 + 11 x  1     2     2
 3 x  5 +  1 x  9     2    14
 5 x  3 +  1 x  9     4    12
 5 x  3 +  3 x  3     2     6
15 x  1 +  1 x  9    14    10
15 x  1 +  3 x  3    12     4
15 x  1 +  9 x  1     6     2
17 x  1 +  1 x  7    16     8
17 x  1 +  7 x  1    10     2
19 x  1 +  1 x  5    18     6
19 x  1 +  5 x  1    14     2
 3 x  7 +  1 x  3     2    10
 7 x  3 +  1 x  3     6     6
 7 x  3 +  3 x  1     4     4
21 x  1 +  1 x  3    20     4
21 x  1 +  3 x  1    18     2
23 x  1 +  1 x  1    22     2

Para un n par dado, que se puede modificar, en el recuadro aparecen todas las soluciones (a,b,c,d), con a,b,c,d impares positivos y a>c de la ecuación a \cdot b + c \cdot d = n, y dos columnas adicionales con los valores de a\! -\! c y b\!+\!d.

Por la involución descrita las columnas a\! -\! c y b\!+\!d contienen los mismos valores con las mismas repeticiones, y para cada par (a\! -\! c, b\!+\!d) de la misma fila existe una fila en que aparece ese par invertido.

Si n no es múltiplo de 4, uno de los dos valores pares a\! -\! c,   b\!+\!d es múltiplo de 4 y el otro no lo es. Porque si a\! -\! c,   b\!+\!d son los dos múltiplos de 4, a \equiv c \pmod{4} y b \equiv -d \pmod{4}, y a \cdot b + c \cdot d sería múltiplo de 4. Si ninguno de esos valores es múltiplo de 4, en los pares (a,c), (b,-d) uno de los términos es de la forma 4k+1 y el otro de la forma 4k+3, y entonces a \equiv -c \pmod{4} y b \equiv d \pmod{4}, y a \cdot b + c \cdot d sería múltiplo de 4.

De donde se concluye que si n no es múltiplo de 4, en la columna a\! -\! c (o b\!+\!d ) el número de elementos que son múltiplos de 4 es igual al número de elementos que no lo son.
En la siguiente entrada usamos este resultado para obtener, siguiendo a Dirichlet, el número de soluciones impares de la ecuación x^2+y^2+z^2+w^2 = 4n, para un n impar dado.


Esta entrada participa en la Edición 4.12310 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog Geometría Dinámica.