Unas fórmulas para la fuerza central

Siguen los corolarios que da Newton en la proposición 6 de los Principia.

Usaremos la notación A \propto B para expresar que A es proporcional a B, es decir que la razón entre magnitudes A, tomadas en diferentes situaciones, es igual a la razón entre las magnitudes B, tomadas en las mismas situaciones. Esas situaciones son en nuestro caso puntos situados en trayectorias producidas por una fuerza central.   Hoy diríamos A = k \cdot B para una constante k, pero para eso hay que admitir en geometría a los números reales, cosa que no hace Newton en los Principia, que se mantienen en el marco conceptual de la antigua teoría griega de la proporción.

En la entrada anterior vimos que, si P es un punto de una trayectoria de un punto móvil producida por la inercia y una fuerza central ejercida desde S, la fuerza en P, F_P, es últimamente directamente proporcional al desplazamiento RQ desde la tangente, paralelo a SP, e inversamente proporcional al cuadrado del tiempo \Delta t en que se recorre PQ, es decir \displaystyle F_P \propto  \lim_{Q \to P } \frac{RQ}{\Delta t ^2}   para una posición fija del centro de fuerzas S.

Corolario 1.
Como, por la proposición 1, \Delta t es proporcional al área barrida por SP, y ese área es últimamente como la del triángulo SQP, que es igual a la del SRP, \Delta t será proporcional a la base SP por la altura QT de ese triángulo y entonces \displaystyle F_P \propto \lim_{Q \to P } \ \frac{RQ}{SP^2 \cdot QT^2}.

Corolario 2.
Como el área del triángulo SRP también es igual a la base PR por la altura SY y \displaystyle \lim_{Q \to P}  \frac{PR}{PQ} = 1, tendremos también \displaystyle F_P \propto \lim_{Q \to P } \ \frac{RQ}{SY^2 \cdot PQ^2}.

Corolario 3.
Consideremos la circunferencia que pasa por P y Q, y que comparte en P la tangente PR con la trayectoria. Sea PU la cuerda de esa circunferencia que pasa por el centro de fuerzas S.
Por igualdad de ángulos inscritos en la circunferencia, y \angle RPQ = \angle PUQ. Como RQ y PU son paralelas, \angle RQP = \angle QPU , y los triángulos PUQ y QPR son semejantes, y PQ/QR = PU/PQ, es decir PU = PQ^2 / QR.
El límite de las circunferencias PQU cuando Q \to P (sobre la trayectoria del punto móvil) es la circunferencia osculatriz a la curva en P, y el límite de las cuerdas PU es la cuerda PV de la osculatriz en P que está en la recta PS. Entonces \displaystyle PV = \lim_{Q \to P} \frac{PQ^2}{QR}, y por tanto, sustituyendo en el corolario anterior, F_P \propto \dfrac{1}{SY^2 \cdot PV}.

Corolario 4.
Si v_P es la velocidad del punto móvil cuando pasa por P, por el corolario 1 de la proposición 1, v_P \propto \dfrac{1}{SY}. Entonces, por el corolario anterior, F_P \propto \dfrac{v_P^2}{PV}.

Corolario 3′.
Este no aparece en los Principia, sino en la nota 212 (vol I, pag 81). de la edición de Le Seur y Jacquier, que dicen que fue propuesto por Johann Bernouilli, De Moivre y Guido Grandi.
Si la circunferencia de la figura es la osculatriz en P, como \angle YSP = \angle VPP', los triángulos VPP' y YSP son semejantes y PV/PP' = SY/SP, o PV= SY \cdot PP'/ SP, y sustitutuyendo en la fórmula del corolario 3, F_P  \propto \dfrac{SP}{SY^3 \cdot OP}.

Corolario 5.
En palabras de Newton:
“De aquí que, si se da una figura curvilínea APQ y se da también en ella el punto S al que se dirige continuamente la fuerza centrípeta, se puede hallar la ley de la fuerza centrítepa por la que un cuerpo P es retenido en el perímetro de dicha figura, desviado continuamente de la trayectoria recta, y que describirá una órbita.
Efectivamente, se puede hallar calculando, o bien el sólido \dfrac{SP^2 \cdot QT^2}{QR}, o bien el sólido SY^2 \cdot PV, inversamente proporcional a dicha fuerza.”


Esta entrada participa en la Edición 5.5: Ronald Fisher del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog pimedios.