Verba filiorum

Parte del folio 55v del manuscrito Parisinus lat. 9335, de principios del siglo XIV:

“Verba filiorum moysi filii sekir i. maumeti hameti hasen.
P
roptera quia vidimus quod conveniens est necessitas scientiae mensure figurarum superficialium et magnitudinis corporum, et vidimus..”

Hacia el año 1160 Gerardo de Cremona traduce en Toledo, del árabe al latín, una obra que los hermanos Banu Musa escribieron en Bagdad hacia el año 860, y que Gerardo de Cremona titula (o así aparece en las copias que existen) “Verba Filiorum Moysi Filii Sekir: Maumeti, Hameti, Hasen”, es decir “Discurso de los hijos de Moisés hijo de Sekir (Banu Musa ibn Shekir): Mohammed, Ahmed y Hasan”.

No han llegado hasta hoy manuscritos árabes con copias del original de los Banu Musa, excepto fragmentos, y no se conoce el título original de la obra, aunque Al-Tusi en el siglo XIII, en una reedición que conserva los argumentos matemáticos, la titula “Libro para el conocimiento de la medida de las figuras planas y esféricas por los hijos de Moisés: Mohammed, Al-Hasan y Ahmed. Dieciocho proposiciones”.
El “Verba filiorum” también fue conocido en la Edad Media como “Liber trium fratrum” (Libro de los tres hermanos).

El libro de los Banu Musa comienza así:

Como vemos cuán conveniente y necesaria es la ciencia de la medida de la superficie de las figuras y del volumen de los cuerpos, y vemos que hay algunas cosas cuyo conocimiento es necesario en esta ciencia pero que, según nos parece, nadie de nuestros tiempos conoce – y de ellas hay algunas que hemos obtenido nosotros porque aunque los antiguos que nos precedieron las obtuvieron, su conocimiento no ha llegado a nosotros, ni conoce nadie de los que hemos preguntado, y hay otras que los antiguos conocieron y escribieron en sus libros, y que, aunque han llegado a nosotros no son en nuestro tiempo muy conocidas – por esas razones nos ha parecido que deberíamos componer un libro en el que demostramos la parte necesaria de este conocimiento que se nos ha hecho manifiesta.

A continuación sigue una breve introducción geométrica y 18 proposiciones, de las cuales las 15 primeras dan demostraciones (rigurosas) de los siguientes hechos:

  • El perímetro del círculo es 2\pi r, su área \pi r^2 y 3\frac{10}{71} < \pi < 3\frac{1}{7}.
  • El área del triángulo es \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} (fórmula de Herón).
  • La superficie del cono es \pi r L y la del cono truncado \pi \frac{R+r}{2}L, con L generatriz.
  • La superficie de la esfera es 4\pi r^2 y su volumen \frac{4}{3}\pi r^3.

Y las últimas 3 proposiciones dan, con demostración:

  • Dos métodos para hallar dos medias proporcionales entre dos magnitudes.
  • Un método para trisecar ángulos.

Los Banu Musa terminan afirmando que las demostraciones que han dado son suyas, excepto las relativas al círculo, que son de Arquímedes, y uno de los métodos para hallar dos medias proporcionales, que atribuyen a Menelao.

La difusión del Verba filiorum supuso un salto cualitativo en el nivel de las matemáticas de la Edad Media latina. La mayor parte de sus resultados y demostraciones fueron recogidos por Fibonacci en su Practica Gometriae (1220) y, de aquí, algunas demostraciones pasaron, por ejemplo, a la Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalità (1494) de Luca Pacioli, donde fueron impresas por primera vez, y al General trattato di numeri et misure (1556) de Tartaglia.


Fuente: Marshall Clagget. Archimedes in the Middle Ages. Vol. I, 1964, pag. 223-367. [Edición del texto latino y traducción inglesa - Según Clagget uno de los mejores manuscritos que contienen el Verba filiorum es el Matritensis BN 10010 (descripción aquí), fol. 77v-84r.]


Esta entrada participa en la Edición 3.1415926535 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog La aventura de la ciencia.