Algunas tablas de particiones

Una partición de un número entero positivo $n$ en $k$ partes es una secuencia de enteros positivos $(\lambda_1, \lambda_2, \ldots,\lambda_k)$ tal que $\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \ldots \geq \lambda_k ~~\mathrm{y}~~ \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots \lambda_k = n$ .

Si $\lambda_k = 1$ y $\lambda_i - \lambda_{i+1} < 2$ , decimos que la partición es en partes seguidas.
Sea $s(n,k)$ es el número de particiones de $n$ en $k$ partes seguidas. Entonces $s(1,1)=1$ , $s(n,1)= 0$ si $n>1$ y $s(n,k) = s(n-1,k-1) + s(n-k, k-1)$ porque $s(n-1,k-1)$ es el número de esas particiones que terminan en ’1 1′ y $s(n-k, k-1)$ es el número de las que terminan en ’2 1′.

De la misma forma, considerando las particiones que terminan en 1 y las que no terminan en 1, obtenemos recurrencias para el número de todas las particiones de $n$ en $k$ partes, para el número de esas particiones cuyas partes son diferentes y para el número de esas particiones cuyas partes son impares.

En las tablas que siguen al colocar el cursor sobre un número de la tabla cambia el fondo. La imagen de la derecha se ha obtenido cuando el cursor estaba sobre el ’5′. Nos dice que 5 es el número de particiones de n=8 en k=3 partes, y que el 5 se ha formado por la regla de recurrencia como suma de los números que aparecen con fondo gris. El ‘Σ=5′ en rojo indica que la suma de los números de esa fila, en ese caso el número total de particiones de 4, es 5.
Al hacer clic sobre un número de particiones de n en k partes de determinado tipo, aparece en el recuadro el conjunto de esas particiones.

PULSE UNO DE LOS BOTONES DE ABAJO PARA OBTENER LOS NUMEROS DE PARTICIONES DE n EN k PARTES.

Al hacer clic sobre un número de la tabla aparece aquí el conjunto de particiones que representa.

Se observan varios hechos curiosos. El más notable es que el número total de particiones de $n$ en partes distintas es igual al total de particiones de $n$ en partes seguidas e igual al total de particiones de $n$ en partes impares. Este teorema tiene muy fácil demostración, que dejamos para otra entrada.

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