Coeficientes binomiales y números primos

A partir de la descomposición en primos de los coeficientes binomiales, se obtienen elementalmente cotas para $\pi(x)$ , que es el número de primos menores o iguales a $x$ .

En la descomposición de un coeficiente binomial en producto de factores primos,

$\displaystyle \binom{n}{m} = \dfrac{n!}{m!(n-m)!} = \prod p_i^{r_i}$ ,

para cada $p_i, \ p_i \le n$ , pues ningún primo mayor que $n$ aparece en el numerador. No es tan evidente, pero no es difícil demostrar , que además para cada componente $p_i^{r_i}$ de la factorización, $p_i^{r_i} \le n$ . [???]

Por otro lado, en la factorización de $\dbinom{2n}{n}$ aparecerán todos los primos entre $n$ y $2n$ .

A partir de estas propiedades se deduce, como se muestra a continuación, que, si $\pi(x)$ es el número de primos menores o iguales que $x$ ,

$\displaystyle \frac{2^k}{k} - 2 < \pi(2^k) < 3 \cdot \frac{2^k}{k}$

Una cota inferior para $\pi(x)$

Por la primera propiedad anterior:

$\displaystyle \binom{n}{m} = \prod p_i^{r_i} \leq n^{\pi(n)}$ , [???]

Y por tanto

$\displaystyle 2^n = (1+1)^n = \sum_{m=0}^n \binom{n}{m} \leq (n+1)n^{\pi(n)} \le (2n) n^{\pi(n)}$

Si $n=2^k$ ,

$2^{2^k} \leq 2^{k+1} 2^{k \pi(2^k)} = 2^{ (k+1) +k \pi(2^k) }$

Comparando exponentes,

$2^k \leq (k+1) +k \pi(2^k)$ ,

es decir

$\displaystyle \pi(2^k) \geq \frac{2^k}{k} - \frac{k+1}{k} > \frac{2^k}{k} - 2$ .

Una cota superior para $\pi(x)$

Por la segunda observación hecha en la introducción:

$\displaystyle n^{\pi(2n)-\pi(n)} \leq \prod_{n < p \leq 2n} p \leq \binom{2n}{n} < 2^{2n}$ . [???]

Si $n = 2^{k-1}, k \geq 1,$

$2^{(k-1)(\pi(2^k)-\pi(2^{k-1}))} < 2^{2^k}$

y comparando exponentes,

$(k-1)(\pi(2^k)-\pi(2^{k-1})) < 2^k$ ,

o

$k\pi(2^k) < (k-1)\pi(2^{k-1}) + \pi(2^k) + 2^k$ ,

y como $\pi(2^k) \leq 2^{k-1}$ ,

$k\pi(2^k) < (k-1)\pi(2^{k-1}) + 3 \cdot 2^{k-1}$ .

Usando esta última desigualdad se obtiene por inducción que

$\pi(2^k) < 3 \cdot \dfrac{2^k}{k}$ . [???]

Corolarios

De $2^n \leq (n+1)n^{\pi(n)}$ se deduce también, tomando logaritmos, que para $n > 2$ ,

$\pi(n) > \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{n}{\ln n}$ . [???]

Y de $\pi(2^k) < 3 \cdot \dfrac{2^k}{k}$ se deduce que

$\displaystyle \pi(x) < 6 \ln 2 \cdot \frac {x}{\ln x} < 4.16 \cdot \frac {x}{\ln x}$ . [???]

Por tanto hemos demostrado que

$\displaystyle A \cdot \frac{x}{\ln x} < \pi(x) < B \cdot \frac{x}{\ln x}$

con $A=0,666$ y $B=4,16$ , para $x > 3$ . [Nota histórica]

De esto se deduce que si $p_n$ es el n-ésimo primo,

$0.24 \cdot n \ln n < p_n < 3 \cdot n \ln n$ [???]

Y también se concluye de lo anterior que los primos son infinitos.

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