Coeficientes binomiales y números primos

A partir de la descomposición en primos de los coeficientes binomiales, se obtienen elementalmente cotas para , que es el número de primos menores o iguales a
.
para cada , pues ningún primo mayor que
aparece en el numerador. No es tan evidente, pero no es difícil demostrar , que además para cada componente
de la factorización,
. [???]
Por otro lado, en la factorización de aparecerán todos los primos entre
y
.
A partir de estas propiedades se deduce, como se muestra a continuación, que, si es el número de primos menores o iguales que
,
Una cota inferior para 
Por la primera propiedad anterior:
Y por tanto
Si ,
Comparando exponentes,
es decir
Una cota superior para 
Por la segunda observación hecha en la introducción:
Si
y comparando exponentes,
o
y como ,
Usando esta última desigualdad se obtiene por inducción que
Corolarios
De se deduce también, tomando logaritmos, que para
,
Y de se deduce que
Por tanto hemos demostrado que
con y
, para
. [Nota histórica]
De esto se deduce que si es el n-ésimo primo,
Y también se concluye de lo anterior que los primos son infinitos.
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