Diámetro conjugado en la elipse (I.15)

En la proposición I.15 de las Cónicas, Apolonio demuestra que una elipse, definida por su “symptoma”, tiene un diámetro conjugado.

La longitud del diámetro conjugado es la media proporcional entre el lado recto y el diámetro que define la elipse.

Y para ese diámetro conjugado existe un lado recto que define la misma elipse, con direccion de ordenadas igual a la del primer diámetro.

Entonces los diámetros conjugados y sus correspondientes lados rectos están en la relación mencionada en la figura adjunta.

Demostración.
Sea una elipse definida mediante un diámetro $AB$ , un lado recto, y una dirección de ordenadas $DE.$ Sea $C$ el punto medio de $AB$ . La recta por $C$ paralela a las ordenadas corta a la elipse en $D$ y $E$ . Sea $DF$ perpendicular a $DE$ , tal que $AB$ es media proporcional de $DE$ y $DF$ .
Sea $G$ un punto de la elipse y $X$ el punto correspondiente del diámetro $AB.$
Trazamos la paralela por $G$ a $AB$ que corta en $H$ y $W$ a $DE$ y a la elipse.
Construimos el resto de puntos de la figura.
Demostramos que $GH^2 = HD\cdot HL$ y que $GH=HW.$

Por Euclides II.5, $CD^2-GX^2 = CD^2-HC^2 = EH\cdot HD.$
Por la definición de la elipse $CD^2 - GX^2 = CA\cdot CP - XA\cdot XO= OS\cdot SP$
Entonces $EH\cdot HD = OS\cdot SP.$
Por definición de $DF, \ \dfrac{DE}{AB}=\dfrac{AB}{DF}$ , y entonces $\dfrac{DE}{DF}=\dfrac{DE^2}{AB^2}=\dfrac{CD^2}{CA^2} =\dfrac{CP\cdot CA}{CA^2} = \dfrac{OS\cdot SP}{OS^2}$ , porque $\dfrac{CP}{CA} = \dfrac{SP}{OS}.$ Y entonces $\dfrac{DE}{DF}=\dfrac{EH \cdot HD}{OS^2}.$
Por otro lado $\dfrac{DE}{DF} = \dfrac{EH}{HL} = \dfrac{EH\cdot HD}{HD \cdot HL}.$
Entonces $HD\cdot HL = OS^2 = GH^2.$

Demostramos ahora que $GH=GW.$
Como $GW$ y $AB$ son paralelas, $GX^2 = WY^2$ , y entonces $AX\cdot OX= AY\cdot YZ.$
Por tanto $\dfrac{OX}{YZ} = \dfrac{AY}{AX} = \dfrac{XB}{YB},$ porque $\triangle BZY \simeq \triangle BOX.$ Entonces $\dfrac{AY-AX}{AX} = \dfrac{XB-YB}{YB}$ , es decir $\dfrac{XY}{AX}=\dfrac{XY}{YB},$
y $AX = YB.$
Como $C$ es el punto medio de $AB, \ XC=CY$ y $GH=HW.$
$ED$ es media proporcional de $AB$ y $AN,$ porque su mitad $CD$ es media proporcional de $AB/2=AC$ y $AN/2=CP,$ puesto que por definición de la elipse $CD^2 = AC\cdot CP.$

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