La proposición I.16 de las Cónicas de Apolonio dice:
“Si por el punto medio del lado transverso de las secciones opuestas se traza una recta paralela a una ordenada, será un diámetro de las secciones opuestas, conjugado con el diámetro anterior.”
En la figura tenemos dos “secciones opuestas” definidas por un diámetro y lado transverso común , lados rectos
y
iguales, una dirección de ordenadas
y la propiedad
,
.
Se trata de demostrar que si por el punto medio del lado transverso
se traza una recta
paralela a las ordenadas, esa recta divide por la mitad los segmentos
entre las secciones opuestas paralelos al diámetro
que las define, y por tanto
es diámetro conjugado del
.
El argumento de Apolonio es:
Como
es un paralelogramo,
, entonces
y
.
Como son semejantes,
, y por tanto
.
Entonces ,
y
.
El paso es justificado por Eutocio en su comentario a las Cónicas de la siguiente forma:
.