Diámetro conjugado en la hipérbola

La proposición I.16 de las Cónicas de Apolonio dice:
“Si por el punto medio del lado transverso de las secciones opuestas se traza una recta paralela a una ordenada, será un diámetro de las secciones opuestas, conjugado con el diámetro anterior.”

En la figura tenemos dos “secciones opuestas” definidas por un diámetro y lado transverso común , lados rectos  y  iguales, una dirección de ordenadas  y la propiedad ,   .

Se trata de demostrar que si por el punto medio  del lado transverso  se traza una recta  paralela a las ordenadas, esa recta divide por la mitad los segmentos  entre las secciones opuestas paralelos al diámetro  que las define, y por tanto  es diámetro conjugado del .

El argumento de Apolonio es:
Como  es un paralelogramo, , entonces    y .
Como  son semejantes, , y por tanto .
Entonces ,    y .

El paso  es justificado por Eutocio en su comentario a las Cónicas de la siguiente forma:
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