El área de la cicloide en Wallis

En una entrada anterior dimos la demostración de Maupertuis (1727) de que el área de la cicloide es el triple de la del círculo que la genera.

Aquí damos otra demostración, que aparece en Wallis (1695)¹, de ese hecho y que también es elemental pero más simple, pues no requiere ningún lema previo, sólo la fórmula del área de la superficie lateral del cilindro.

Consideremos media cicloide como $AFB$ en la figura siguiente.
Trazamos la semicircunferencia $BEC$ , con diámetro $BC$ , eje de simetría de la cicloide.
Por un punto $D$ en el diámetro $BC$ trazamos una paralela a la base, que corta a la semicircunferencia $BEC$ en $E$ y a la cicloide en $F$ .

Sea $G$ el punto de tangencia del círculo generador con la base cuando genera el punto $F$ .
Entonces el segmento $AG$ es igual al arco $FG$ que es igual al arco $EC$ . Pero todo el segmento $AC$ es igual a la semicircunferencia $BEC$ , y por tanto el arco $BE$ es igual al segmento $GC$ , que es igual al $FE$ , porque $FECG$ es un paralelogramo.

Trazamos un cuadrado $BCKJ$ , y sobre ese cuadrado construimos, como en la figura siguiente, un semicilindro cuyas bases semicirculares están en planos perpendiculares al de la cicloide.

Un plano perpendicular al plano $BKC$ de la cicloide y que pase por la diagonal $BK$ del cuadrado cortará a la superficie del semicilindro en dos partes iguales, separadas por una semielipse $BTK$ .
El arco $DT$ en el semicilindro es igual al arco $BE$ en la semicircunferencia $BEC$ , porque $BD = DS$ (porque $S$ está en la diagonal $BK$ del cuadrado $BJKC$ ) y la semicircunferencia $BEC$ es igual a la $DTL$ .
Pero hemos visto que el arco $BE$ es igual al segmento $FE$ , entonces el arco $DT$ es igual al segmento $FE$ .

Como esto sucede para cualquier posición de $D$ en $BC$ , cuando $D$ se desplaza por el segmento $BC$ el área barrida por el segmento $FE$ será igual al área barrida por el arco $DT$ en la superficie del semicilindro.

Ese área, cuando $D$ recorre todo el diámetro $BC = 2R$ , es la mitad de la superficie (lateral) del semicilindro de altura $2R$ , y por tanto es igual a $\pi R^2$ , es decir igual a la del círculo generador de la cicloide.

Por tanto el área bajo la cicloide es el triple del área del círculo que la genera.
En términos del semicilindro anterior, el área de la cicloide es igual a la del semicilindro, incluyendo sus bases semicirculares.

¹ – John Wallis. De cycloide et corporibus inde genitis, problematum solutio. En: Opera Mathematica vol. I (1695), pag 499. (Wallis coloca el semicilindro de forma diferente.)

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