El perímetro del triángulo órtico
Vimos en una entrada anterior que dos lados opuestos de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia son antiparalelos respecto a los otros lados. Si el cuadrilátero degenera en un triángulo porque coinciden dos de sus vértices, resulta que la tangente a la circunferencia circunscrita a un triángulo en un vértice es antiparalela al lado opuesto respecto a los otros lados. (O bien por Euclides III.32)
Como cada lado del triángulo órtico de también es antiparalelo al correspondiente lado de respecto a los otros lados, los lados del triángulo órtico son paralelos a las tangentes a la circunferencia circunscrita en los vértices.
Entonces el radio es perpendicular a , y por tanto el área del cuadrilátero es .
De la misma forma las áreas de los cuadriláteros y son y .
Si es acutángulo, el circuncentro está en el interior de .
Entonces el área de es la suma de las áreas de los cuadriláteros anteriores y por tanto igual al producto del radio de la circunferencia circunscrita por el semiperímetro del triángulo órtico.
Por tanto el perímetro del triángulo órtico de un acutángulo, o el perímetro mínimo de los triangulos inscritos en un acutángulo, es el doble del área de dividida entre el radio de la circunferencia circunscrita a .
Fuente: F.G.M. Exercises de géométrie, p.737.
Otra demostración en F.J. García Capitán, El triángulo órtico en el Court, Rev.E.OIM, 37
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