El perímetro del triángulo órtico

Vimos en una entrada anterior que dos lados opuestos de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia son antiparalelos respecto a los otros lados. Si el cuadrilátero degenera en un triángulo porque coinciden dos de sus vértices, resulta que la tangente a la circunferencia circunscrita a un triángulo en un vértice es antiparalela al lado opuesto respecto a los otros lados. (O bien por Euclides III.32)

Como cada lado del triángulo órtico \triangle H_AH_BH_C de \triangle ABC también es antiparalelo al correspondiente lado de \triangle ABC respecto a los otros lados, los lados del triángulo órtico son paralelos a las tangentes a la circunferencia circunscrita en los vértices.

Entonces el radio OA es perpendicular a H_BH_C, y por tanto el área del cuadrilátero AH_BOH_C es \dfrac{OA \cdot H_BH_C}{2}.
De la misma forma las áreas de los cuadriláteros BH_AOH_C y CH_AOH_B son \dfrac{OB \cdot H_AH_C}{2} y \dfrac{OC \cdot H_AH_B}{2}.
Si \triangle ABC es acutángulo, el circuncentro O está en el interior de \triangle ABC.
Entonces el área de \triangle ABC es la suma de las áreas de los cuadriláteros anteriores y por tanto igual al producto del radio de la circunferencia circunscrita por el semiperímetro del triángulo órtico.

Por tanto el perímetro del triángulo órtico de un \triangle ABC acutángulo, o el perímetro mínimo de los triangulos inscritos en un \triangle ABC acutángulo, es el doble del área de \triangle ABC dividida entre el radio de la circunferencia circunscrita a \triangle ABC.


Fuente: F.G.M. Exercises de géométrie, p.737.
Otra demostración en F.J. García Capitán, El triángulo órtico en el Court, Rev.E.OIM, 37

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