El teorema de Pitagoras en Euclides

Euclides da dos demostraciones del teorema de Pitágoras en los Elementos, una que no usa proporciones y otra basada en la teoría de la proporción.
Las dos demostraciones prueban algo más que el teorema.

Euclides I.47

En la proposición I.47 se prueba que si tenemos un triángulo  como en la figura con ángulo recto en  y construimos cuadrados sobre los lados, la perpendicular  desde  sobre la hipotenusa  divide al cuadrado sobre la hipotenusa en dos rectángulos,  igual al cuadrado sobre el cateto  y  igual al cuadrado sobre el cateto 
Porque , puesto que cada uno de ellos es  más un recto, y entonces  son congruentes y su área es la misma. Pero el área de  es igual al área de , porque la altura sobre la base  es la misma, y el área de  es igual al área de , porque la altura sobre la base  es la misma. Entonces el rectángulo  es igual al cuadrado sobre .
De la misma forma el rectángulo  es igual al cuadrado sobre .

En la proposición I.48 Euclides demuestra el recíproco del teorema de Pitágoras: si  son los lados de un triángulo y , entonces el ángulo opuesto al lado  es recto.

Euclides VI.31

En la proposición VI.31 se prueba que si tenemos un triángulo  como en la figura con ángulo recto en  y construimos figuras rectilineas semejantes sobre los lados, proporcionales a estos, el área de la figura sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de las figuras sobre los catetos.

Euclides no utiliza I.47 en la demostración de esta proposición, y por tanto, en el caso de que las figuras semejantes sean cuadrados, tenemos aquí una segunda demostración del teorema de Pitágoras en los Elementos.

En la figura, si  es recto,  son semejantes (VI.8), y entonces  y por tanto , y, por el corolario a VI.20,  es la razón entre el área de la figura sobre  y el área de la figura sobre . De la misma forma  es la razón entre el área de la figura sobre  y el área de la figura sobre .
Entonces, por V.24, la razón entre la suma de las áreas de las figuras sobre los catetos y el área de la figura sobre la hipotenusa es