El teorema de Pitagoras en Euclides

Euclides da dos demostraciones del teorema de Pitágoras en los Elementos, una que no usa proporciones y otra basada en la teoría de la proporción.
Las dos demostraciones prueban algo más que el teorema.

Euclides I.47

En la proposición I.47 se prueba que si tenemos un triángulo ABC como en la figura con ángulo recto en C y construimos cuadrados sobre los lados, la perpendicular CNM desde C sobre la hipotenusa AB divide al cuadrado sobre la hipotenusa en dos rectángulos, ANMH igual al cuadrado sobre el cateto AC y BNMK igual al cuadrado sobre el cateto BC.
Porque \angle FAB = \angle CAH, puesto que cada uno de ellos es \angle CAB más un recto, y entonces \triangle FAB \ \text{y} \ \triangle CAH son congruentes y su área es la misma. Pero el área de \triangle AFB es igual al área de \triangle AFC, porque la altura sobre la base AF es la misma, y el área de \triangle AHC es igual al área de \triangle AHN, porque la altura sobre la base AH es la misma. Entonces el rectángulo ANHM es igual al cuadrado sobre AC.
De la misma forma el rectángulo BNMK es igual al cuadrado sobre BC.

En la proposición I.48 Euclides demuestra el recíproco del teorema de Pitágoras: si a,b,c son los lados de un triángulo y c^2 = a^2+b^2, entonces el ángulo opuesto al lado c es recto.

Euclides VI.31

En la proposición VI.31 se prueba que si tenemos un triángulo ABC como en la figura con ángulo recto en C y construimos figuras rectilineas semejantes sobre los lados, proporcionales a estos, el área de la figura sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de las figuras sobre los catetos.

Euclides no utiliza I.47 en la demostración de esta proposición, y por tanto, en el caso de que las figuras semejantes sean cuadrados, tenemos aquí una segunda demostración del teorema de Pitágoras en los Elementos.

En la figura, si \angle C es recto, \triangle CAB, \triangle DAC, \triangle DCB son semejantes (VI.8), y entonces \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{AC}{AD} y por tanto \dfrac{AB}{AD} = \left (\dfrac{AB}{AC}\right )^2, y, por el corolario a VI.20\dfrac{AB}{AD} es la razón entre el área de la figura sobre AB y el área de la figura sobre AC. De la misma forma \dfrac{AB}{BD} es la razón entre el área de la figura sobre AB y el área de la figura sobre BC.
Entonces, por V.24, la razón entre la suma de las áreas de las figuras sobre los catetos y el área de la figura sobre la hipotenusa es \dfrac{AD+DB}{AB} = 1

 

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *

Subir