El fragmento matemático bobiense

El único texto en griego que nos ha llegado de la antigüedad donde se demuestra la propiedad de reflexión focal de la parábola está en unas hojas palimpsestas anónimas encontradas en la biblioteca de la abadía de Bobbio, hoy conservadas en la biblioteca Ambrosiana de Milán.
El texto fue atribuído por J.L.Heiberg a Antemio de Tralles. Por otro lado T.L.Heath pensó que el fragmento deriva de un original anterior a Apolonio. Parece más probable la conjetura del primer editor del texto, Ch.Belger, que lo atribuye a un bizantino del siglo VI o VII.

El autor demuestra primero el siguiente lema:
Sea $A$ el vértice (del eje) de una parábola y $B$ un punto situado en el eje a una distancia del vértice igual a la cuarta parte del lado recto $R$ . Si $D$ es la intersección de la tangente en un punto $E$ con el eje, entonces $BD=BE.$

Por definición de la parábola $R\cdot AH = 4 AB\cdot AH = EH^2$
Pero como $AD=AH, \ \ EH=2 AZ$ y $EH^2 = 4AZ^2$ .
Entonces $AZ^2 = AB \cdot AH = AB \cdot AD$ , y, por Euclides II.14 $\triangle BZD$ es rectángulo.
Entonces $\triangle BED$ es isósceles y $BD=BE.$

A continuación el autor demuestra que los
rayos paralelos al eje inciden reflejados en el punto ${}B.$
Porque como $EC$ y $DB$ son paralelas, $\angle FEC = \angle EDB$ y por ser $\triangle EDB$ isósceles, $\angle EDB = \angle DEB$ .

Al punto ${}B$ , situado a una distancia del vértice ${}A$ igual a la cuarta parte del lado recto, no se le denominó “foco” hasta el siglo XVII, por Kepler.

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