La tangente a la cicloide

Fermat dio la siguiente regla para trazar la tangente a la cicloide en un punto $P$ de la curva.
Trazamos la circunferencia que tiene por diámetro el eje $BC$ de la cicloide. La paralela a la base por $P$ corta a esa circunferencia en $G$ . Trazamos un segmento desde el vértice $B$ de la cicloide hasta $G$ . Entonces la paralela a $BG$ por $P$ es la tangente en $P$ a la cicloide.

La demostración es fácil usando el método de Roberval, que consiste en aplicar que:

cuando un punto describe una curva, el vector velocidad es tangente a la curva en cada punto y
en un movimiento compuesto, la velocidad resultante es la suma de las componentes según la regla del paralelogramo.

El movimiento de $P$ al generar la cicloide está compuesto de un movimiento de rotación alrededor del centro $O$ del círculo que genera la cicloide y de un movimiento de traslación de todo ese círculo paralelamente a la base.
Como el desplazamiento paralelo a la base provoca que un punto en la circunferencia se desplaze un arco de la misma longitud, la velocidad tangencial de rotación en $P$ es igual a la velocidad de traslación y el paralelogramo de velocidades es un rombo. Entonces el vector velocidad resultante, tangente a la curva en ese punto, está en la bisectriz de las dos componentes, y la tangente en $P$ es bisectriz del ángulo que forman la paralela a la base por $P$ y la tangente al círculo generador en $P$ .

En la figura, la tangente $GK$ a la circunferencia de diámetro $BC$ en $G$ es paralela a la tangente al círculo generador en $P$ .
Como el arco $GBL$ es el doble del arco $BL$ , el ángulo $\angle KGL$ es el doble del ángulo $\angle BGL$ (por Euclides III.21 y III.32).
Entonces $GB$ es bisectriz de $KGL$ , y por tanto paralela a la tangente a la cicloide en $P.$