La tangente a la parábola

Las proposiciones relativas a la tangente a la parábola en el primer libro de las Cónicas de Apolonio son las siguientes.

Proposición I.17
Si en cualquier sección de un cono se traza una recta que pasa por el vértice paralela a una ordenada, la recta estará fuera de la sección a ambos lados del vértice.

Proposición I.32
Si se traza una recta por el vértice de una sección cónica paralela a una ordenada, es tangente a la sección y no hay otra recta en el espacio entre esa recta y la sección.

Las proposiciones anteriores se enuncian para cualquier sección cónica. Las siguientes son específicas para la parábola.

Proposición I.33
Sea $H$ un punto en la parábola y $E$ el extremo de su ordenada en el diámetro que la define. Prolongamos el diámetro más allá del vértice $V$ hasta un punto $S$ tal que $VE = VS.$ Entonces la recta $SH$ es tangente a la parábola en $H$ .
Demostración. Con las letras de la figura,
$\dfrac {\square FJ}{\square EH}=\dfrac{FV}{EV}$ , por I.20.

$\dfrac{FV}{EV} = \dfrac{4\!\sqsubset\!\sqsupset\!\!(FV,VS)}{4 \square EV}$ , porque $EV\!=\!VS$ y Euc.VI.1.

Pero $4\square EV = \square ES$ y $4\!\sqsubset\!\sqsupset\!\!(FV,VS) < \square FS$ , si $V$ no es el punto medio de $FS$ , por el corolario a Euc.II.5. Entonces $\dfrac {\square FJ}{\square EH} < \dfrac {\square FS}{\square ES}$ .

Como $\triangle SEH \simeq \triangle SFT$ , por Euc.VI.20 cor. tenemos $\dfrac {\square FS}{\square ES} = \dfrac {\square FT}{\square EH}$ , y por tanto $\dfrac {\square FJ}{\square EH} < \dfrac {\square FT}{\square EH}$ , y $FJ < FT.$