Las propiedades de la cuerda rota

(P1) $E$ divide a la quebrada $ABC$ en dos partes iguales: $AE = EB+BC.$
(P2) La diferencia entre las áreas de $\triangle AMC$ y $\triangle ABC$ es el área del rectángulo $ME\cdot EB.$
(P3) $AM^2 = MB^2 + AB\cdot BC$ , tanto si las longitudes que intervienen en la fórmula son longitudes de arcos ( $AB$ sería el arco $AMB$ , etc) como si son longitudes de cuerdas.

Al-Biruni, en su libro “Cálculo de las cuerdas del círculo a partir de las propiedades de la linea quebrada”, cuyo milenario se cumple en uno de estos años, da 23 demostraciones de (P1) y 9 demostraciones de (P3).
En una de las pruebas de (P1), debida a Al-Shanni, se usa como lema (P2), demostrado independientemente, pero Al-Biruni también demuestra (P2) a partir de (P1), como se expone a continuación.
La demostración de (P1) que sigue se debe a Al-Sijzi y la de (P3) aparece en un libro de problemas traducido del griego por un Yuhanna Ibn Yusuf.

Demostración de (P1) : $AE = EB+BC.$

Trazamos la cuerda $MD$ paralela a $AB$ y completamos el rectángulo $EMDF.$
Entonces $MD=EF, BE=FA$ y arco $BM$ = arco $AD.$
De donde, como arco $AM$ = arco $CM$ , resulta arco $BC$ = arco $MD$ y por tanto $BC=MD=EF$ y $AE= AF+EF=BE+BC,$ c.q.d.

Demostración de (P2) : $\triangle AMC - \triangle ABC = ME\cdot EB.$

Si hacemos $EH=EB$ , por (P1) tenemos que $AH=BC.$ Como además $\angle BAM = \angle BCM$ porque los dos subtienden el arco $BM$ , y $AM = CM$ , tenemos $\triangle BCM = \triangle HAM.$
Entonces $\triangle AMC - \triangle ABC =$ (quitando $\triangle AKC$ ) $\triangle AKM - \triangle BKC =$ (sumando $\triangle BKM$ ) $\triangle AMB - \triangle CMB =$ (como $\triangle CMB=\triangle AMH$ ) $\triangle AMB - \triangle MHA = \triangle MBH.$
Pero $\triangle MBH = EB \cdot ME$ , porque $BH = 2 \cdot EB,$ y por tanto $\triangle AMC - \triangle ABC = EB \cdot ME$ , c.q.d.

Demostración de (P3) : $AM^2 = MB^2 + AB\cdot BC.$

Por Euclides II.5, si un segmento $AC$ está dividido por un punto $B$ y $M$ es el punto medio de $AC,$ $AM^2 = MB^2 + AB \cdot BC$ , que es la identidad $(h+x)(h-x) = h^2 - x^2$ .

Por tanto, en la figura, $\text{arco}AM^2 = \text{arco}BM^2 + \text{arco}AMB \cdot \text{arco}BC.$

$B$ es un punto de la quebrada $ABC$ y por (P1) $E$ es su punto medio, por tanto, por Euclides II.5, $AE^2 = EB^2 + AB \cdot BC$ , y sumando a ambos lados $EM^2$ y aplicando el teorema de Pitágoras, resulta $AM^2 = BM^2 + AB \cdot BC$ , c.q.d.

Fuente: Al-Biruni, “Calculo de las cuerdas…”, traducido por Heinrich Suter (al alemán) en Bibliotheca Mathematica, serie 3, vol.11 (1910-1911), págs. 11-78.
Las demostraciones anteriores aparecen en págs. 17 (P1), 21 (P2) y 26 (P3).

Las propiedades de la cuerda rota

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