(P1) divide a la quebrada
en dos partes iguales:
(P2) La diferencia entre las áreas de y
es el área del rectángulo
(P3) , tanto si las longitudes que intervienen en la fórmula son longitudes de arcos (
sería el arco
, etc) como si son longitudes de cuerdas.
Al-Biruni, en su libro “Cálculo de las cuerdas del círculo a partir de las propiedades de la linea quebrada”, cuyo milenario se cumple en uno de estos años, da 23 demostraciones de (P1) y 9 demostraciones de (P3).
En una de las pruebas de (P1), debida a Al-Shanni, se usa como lema (P2), demostrado independientemente, pero Al-Biruni también demuestra (P2) a partir de (P1), como se expone a continuación.
La demostración de (P1) que sigue se debe a Al-Sijzi y la de (P3) aparece en un libro de problemas traducido del griego por un Yuhanna Ibn Yusuf.
Demostración de (P1) :
Trazamos la cuerda
paralela a
y completamos el rectángulo
Entonces y arco
= arco
De donde, como arco = arco
, resulta arco
= arco
y por tanto
y
c.q.d.
Demostración de (P2) :
Si hacemos
, por (P1) tenemos que
Como además
porque los dos subtienden el arco
, y
, tenemos
Entonces (quitando
)
(sumando
)
(como
)
Pero , porque
y por tanto
, c.q.d.
Demostración de (P3) :
Por Euclides II.5, si un segmento
está dividido por un punto
y
es el punto medio de
, que es la identidad
.
Por tanto, en la figura,
es un punto de la quebrada
y por (P1)
es su punto medio, por tanto, por Euclides II.5,
, y sumando a ambos lados
y aplicando el teorema de Pitágoras, resulta
, c.q.d.
Fuente: Al-Biruni, “Calculo de las cuerdas…”, traducido por Heinrich Suter (al alemán) en Bibliotheca Mathematica, serie 3, vol.11 (1910-1911), págs. 11-78.
Las demostraciones anteriores aparecen en págs. 17 (P1), 21 (P2) y 26 (P3).