Los enteros gaussianos son euclídeos

El conjunto $\mathbb{Z}[i]$ de los enteros gaussianos son los números $a+bi$ , con $a$ y $b$ enteros, y $i=\sqrt{-1}$ . Es claro que son un subanillo del cuerpo de los complejos.

El recuadro utiliza el algoritmo de Euclides para obtener el máximo comun divisor de los dos enteros gaussianos que se anoten.

Es posible aplicar el algoritmo de Euclides porque los enteros gaussianos son un dominio euclídeo, es decir, un dominio de integridad en el cual cada elemento $a$ tiene asociado un entero concreto $\phi(a),$ y la función $\phi$ satisface las siguientes condiciones:
E1. Si $b$ divide a $a$ , entonces $\phi(b) \le \phi(a)$ .
E2. Para cada par de elementos $a,b$ del dominio, con ${}b \neq 0$ , existen elementos $q$ y $r$ del dominio tales que $a=bq+r$ con $\phi(r) < \phi(b)$ .

Demostración.
Usamos como función $\phi$ la norma, $N(a+bi)$ , que es el producto de $a+bi$ por su conjugado: $N(a+bi) = (a+bi)(a-bi) = a^2 + b^2$ , y es un entero igual al cuadrado del módulo del número complejo.

Se verifica E1 porque la norma es multiplicativa: $N(z_1 z_2) = z_1z_2\overline{z_1z_2} = N(z_1)N(z_2)$ , porque el conjugado del producto es el producto de los conjugados. Entonces si $a,b \in \mathbb{Z}[i]$ , y $b|a, \ N(b)|N(a)$ , y por tanto $N(b) \le N(a)$ .

Que se verifica E2 se ve claro gráficamente.
Al multiplicar el retículo $\mathbb{Z}[i]$ del plano complejo por un número $z$ , el retículo se transforma en otro generado por $z$ e $iz$ , y, cualquier número en el plano es suma de un número en el retículo más otro cuyo módulo es menor o igual que $\frac{\sqrt{2}}{2}|z|$ , es decir cuya norma es menor o igual que la mitad de la norma de $z$ .