Piero della Francesca y el volumen del tetraedro

Piero della Francesca, Flagelación de Cristo.

La Wikipedia, entre otros sitios, nos cuenta erróneamente que Tartaglia descubrió la siguiente fórmula que da el volumen de un tetraedro a partir de las longitudes de sus seis aristas:
$288 \cdot V^2 =\begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & d_{12}^2 & d_{13}^2 & d_{14}^2 \\ 1 & d_{12}^2 & 0 & d_{23}^2 & d_{24}^2 \\ 1 & d_{13}^2 & d_{23}^2 & 0 & d_{34}^2 \\ 1 & d_{14}^2 & d_{24}^2 & d_{34}^2 & 0\end{vmatrix}$ , donde $d_{ij}$ es la distancia entre los vértices $i$ y $j$ .
Es evidente que Tartaglia no pudo imaginar ningún determinante, pero lo que viene al caso es que Tartaglia, en lo relativo al volumen del tetraedro, se limitó, en su “General trattato di numeri et mesure“, a reproducir resultados que aparecen en los tratados “Summa…” y “Divina proportione” de Luca Pacioli, quien los copió de los tratados “Trattato dell’abaco” y “Libellus de quinque corporibus regularibus” de Piero della Francesca.

En el interesante sitio “Mathpages” se asigna a Piero della Francesca la siguiente fórmula:

(Tomada de Von Staudt, en “Nouvelles annales de mathematiques (1852), P. 299-304“.)

Pero la asignación de esa fórmula a Piero della Francesca no tiene base. Esas fórmulas fueron descubiertas por Cayley (1841) y Von Staudt (1843), y afirma Sylvester que no parecen tener antecedentes.

Es cierto que Piero della Francesca dio un procedimiento para obtener el volumen del tetraedro a partir de las longitudes de las aristas, pero ese procedimiento está alejado de una fórmula como las anteriores.

El área de un triángulo a partir de sus lados

Piero comienza el “Libellus de quinque corporibus regularibus“, obteniendo la altura de un triángulo a partir de sus lados, usando los resultados de las proposiciones II.12 y II.13 de los “Elementos” de Euclides, que hoy se formulan como el “teorema del coseno”.

Sea un triángulo $ABC, \ AB$ la base y $CD$ la altura. Entonces
$BC^2 + 2 AB\cdot AD = AB^2 + AC^2$ (Euclides II.13).
Y por tanto podemos obtener $AD$ a partir de los lados. Conocido $AD$ , obtenemos $CD = \sqrt{AC^2 - AD^2},$ y a partir de aquí tenemos el área $S= AB\cdot CD/2.$

Piero da instrucciones detalladas de los cálculos para el triángulo de lados 13,14,15 y obtiene $AD=5$ y $CD=12$ , y para la altura desde $A, 11 \frac{1}{5}$ .

El volumen de un tetraedro a partir de sus aristas

De la misma forma que en el apartado anterior, y utilizando las mismas herramientas, obtiene Piero, en el problema 10 del libro II del “Libellus“, la altura de un tetraedro a partir de sus aristas.
A partir de ahí podemos obtener el volumen como la tercera parte del producto de la altura por el área de la base, que obtenemos a partir de sus lados como en el apartado anterior.

Sea un tetraedro como en la figura. El plano que pasa por B y es perpendicular a AD corta en los planos ABD y AFD rectas GB y GH perpendiculares a AD.
Entonces BG es una altura de BAD, que podemos obrtener a partir de sus lados como en el apartado anterior, y GH es paralela a la altura FE.
Haciendo GH = FE, GHFE es un rectángulo y por tanto HF = GE = DG – DE es una cantidad obtenible a partir de los lados.
Además el ángulo BHF es recto, porque el plano BGH es perpendicular a HF, paralela a AD, y como hemos obtenido HF y tenemos BF, podemos obtener BH.

Hemos obtenido entonces, a partir de las aristas del tetraedro, los lados del triángulo BGH. Finalmente obtenemos la altura BK de ese triángulo, que es la altura del tetraedro, a partir de los lados BG,BH,GH, una vez más como en el apartado anterior.

Piero della Francesca expone el procedimiento con un ejemplo numérico concreto, que es el mismo que usa Tartaglia, casi un siglo después, en “General trattato, quarta parte, libro secondo, capo iiii,10“. Pero Tartaglia comete un error en el resultado intermedio: $\sqrt{305\frac{3}{49}}$ , en lugar del correcto que da Piero: $\sqrt{305\frac{31}{49}}$ . A partir de ahí los resultados de Tartaglia están mal. El resultado obtenido por Piero en el “Libellus” para la altura BK es $\sqrt{240\frac{271216}{1382976}}$ , si, en la figura, DF=13, AB=20, AD=14, BF=16, AF=15, DB=18.