Sumas de cuadrados de diagonales I

En un polígono regular trazamos todas las diagonales desde un vértice.
Considerando los lados adyacentes a ese vértice como diagonales, si numeramos consecutivamente las diagonales tenemos que:
Proposición 1. La suma de los cuadrados de las diagonales impares es igual a la suma de los cuadrados de las diagonales pares.
Proposición 2. Cada una de esas sumas es igual al producto del número de lados por el cuadrado del radio de la circunferencia circunscrita al polígono.

Demostración de la proposición 1
Si el número de lados del polígono es impar, las diagonales pares son iguales a las impares en orden inverso y el resultado es trivial.

Si el número $2n$ de lados es par, designamos con $d_1,\ldots,d_{2n-1}$ las diagonales del polígono de forma que $d_1$ y $d_{2n-1}$ son lados del polígono, y $d_k$ subtiende $k$ lados.
Aplicando el teorema de Ptolomeo a los cuadriláteros de diferente color en la figura, tenemos $d_k^2 = d_{k-1}^2 + d_1d_{2k-1}$ , es decir $d_k^2 - d_{k-1}^2 = d_1d_{2k-1}$ , para $k \le n$ .
La diferencia entre la suma de los cuadrados de impares y pares será ( $d_0 = 0$ ) $\sum_1^n (d_{2i-1}^2 - d_{2i-2}^2)$ .
Si $1 \le 2i-1 \le n$ :
$\sum (d_{2i-1}^2 - d_{2i-2}^2) = d_1\sum d_{4i-3}$ .
Y si $n < 2i-1 \le 2n-1$ , como $d_k = d_{2n-k}$ :
$\sum (d_{2i-1}^2 - d_{2i-2}^2) = \sum (d_{2n-2i+1}^2 - d_{2n-2i+2}^2)$ $= -d_1 \sum d_{4n-4i+3}$ .

La suma $\sum d_{4i-3}$ recorre todas las diagonales de la forma $d_{ 4k+1 }$ , y la suma $\sum d_{4(n-i)+3}$ todas las de forma $d_{4k+3}$ . Basta entonces con demostrar que las sumas de las diagonales de esas formas son iguales en un polígono par.

Los segmentos verdes en la figura son las diagonales de la forma $d_{4k+1}$ , y los segmentos rojos son las de la forma $d_{4k+3}$ .

Los cuadriláteros sombreados en la figura son paralelogramos y por tanto el segmento verde y el rojo de cada cuadrilátero son iguales y son iguales la suma de los segmentos verdes y la de los rojos, es decir son iguales la suma de las diagonales de la forma $d_{ 4k+1 }$ y la suma de las de la forma $d_{ 4k+3 }$ , y tenemos demostrada la proposición.

(En la figura anterior los paralelogramos sombreados son rombos y los puntos rojos están alineados.)

Demostración de la proposición 2
De la proposición primera y del teorema de Pitágoras se deduce la segunda. Por no alargar esta entrada dejamos la demostración para la siguiente.

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