Sumas de cuadrados de diagonales II

Como hemos demostrado, en la entrada anterior, que tomando las diagonales desde un vértice de un polígono regular, la suma de los cuadrados de las diagonales impares es igual a la de las pares, el hecho de que cada una de esas sumas sea igual al número de lados por el cuadrado del radio es consecuencia del siguiente teorema:

La suma de los cuadrados de todas las diagonales (incluidos los lados) con extremo en un vértice de un polígono regular de $n$ lados es igual al doble del número de lados por el cuadrado del radio de la circunferencia circunscrita.

Demostración
En el caso de un número $2n$ par de lados, podemos disponer las $2n-1$ diagonales como en la figura, formando $n - 1$ triángulos rectángulos, con hipotenusa común igual al diámetro de la circunferencia.

Entonces la suma de los cuadrados de las diagonales será $(n - 1)(2R)^2 + (2R)^2 = 4nR^2$ , donde $R$ es el radio de la circunferencia circunscrita.

En el caso de un número $n$ impar de lados, si formamos un polígono regular de $2n$ lados a partir del polígono de $n$ lados, inscrito en la misma circunferencia, las diagonales pares de ese polígono serán todas las diagonales del polígono de $n$ lados.

La suma de los cuadrados de las diagonales del polígono de $2n$ lados es $4nR^2$ y la suma de los cuadrados de las diagonales pares es igual a la de las impares. Por tanto la suma de los cuadrados de las pares, es decir, de todas las del polígono de $n$ lados, será $2nR^2$ .

En un polígono regular de $n$ lados, la diagonal $d_k$ , que subtiende $k$ lados, es igual a $2R \sin(\dfrac{k\pi}{n})$ y por tanto el resultado anterior, $\sum d_k^2 = 2nR^2$ , es equivalente a $\displaystyle \sum_{k=1}^n \sin^2(\dfrac{k\pi}{n}) = \dfrac{n}{2}$ .

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