Los primeros 161 dígitos de Pi

Publicado el 19/04/2021 by fede

Parte entera de Pi = [Pi] = 3, [Pi x 100] = 314 y [Pi x 10^100] =

            314159
           Soy y seré a todos definible,
        
            26535
            mi nombre tengo que daros,
        
            8979
            cociente diametral siempre inmedible 
        
            32384
            soy de los redondos aros.
        
            6264
            Dígito va, número sale.
        
            338327
            Por los senderos que tú conoces
        
            950
            transitas ahora calculando
        
            288
            en círculos redondos,
        
            4197
            pues o geómetras mienten
        
            16939
            o arduos problemas son triviales
        
            9375
            resueltos por máquina ciega,
        
            105820
            y algoritmos ahora obtienen Pi computando
        
            9749
            funciones fáciles para ordenador
        
            4459
            como cien sumas decimales.
        
            23078
            Tú vas calculando palabra sucesiva
        
            164062
            y dígito sale obteniendo número Pi.
        
            86208
            Continúa número Pi repitiendo cálculos,
        
            998
            obtenemos decimales añadidos.
        
            628
            Número Pi repetiré
        
            0348
            terminando con esos cálculos.
        
        253421
        El poema digitalizador para Pi concluyendo
    
        170
        finalizamos proceso suponiendo
    
        679
        número nuestro terminado.

      = [Pi x 10^100]        
     
       El número entero [Pi x 10^100], formado por un 3 seguido de los cien primeros dígitos decimales
       de la parte fraccionaria de Pi, bien puede ser llamado un número redondo.
        
        Hasta [Pi x 10^19] tomado de aquí. 
        El resto continuación de aquí.
        
        La secuencia de dos dígitos 62 = "número Pi", 
          es la que más aparece (4 veces)   en la
          representación decimal de [Pi x 10^100]. 
        
        También  [Pi x 10^23] =  “Con sensacional autogeneradora memorística trova, constante Pi, quiero saber más ahora. Aprender secuencia decimal inacabada del trascendente inextinguible elemento real número Pi, quiero aquí.” 
        
        821480
        Calcular Pi a mano mediante algoritmos
    
        86513
        contando letras puede prolongarse más
    
        28230
        si continúa el decimalizador trabajando
    
        66470
        porque quizás este rosario, intentando
    
        938
        siguiente voz oracular
    
        4460
        para autorreferente poesía, proclamará,
    
        9550
        desvelada vieja razón dividiendo,
    
        58223
        'valor cociente Pi inexpresable soy'.
    
        17253
        Maravilloso siempre, Pi puede ser
    
        594
        indefinidamente extendido pero
    
        0812848
        finalmente llegamos a Pi hallando tres unidades:
    
        1117
        encontrando alternativo humorístico colofón
    
        4502
        para parar terminando.    Pi.
    
    = [Pi x 10^160] - ( [Pi x 10^100] x 10^60 )
  
  Con lo que tenemos los primeros 101+60 = 161 dígitos de Pi en dos vueltas o cantos.
  
La secuencia de los  decimales de Pi es la OEIS A000796
 y  una tabla con los valores de la función 

 f(n) = [Pi x 10^(n-1)] - ( [Pi x 10^(n-2)] x 10 )   para n=1...20000,
 (los dígitos de [Pi x 10^19999] con su posición), se puede 
  ver aquí.

Esta entrada participa en la Edición 12.2: Carl Friedrich Gauss del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Gaussianos.

Disecciones de Perigal descentradas

Publicado el 23/09/2018 by fede

La disección de Perigal proporciona una demostración del teorema de Pitágoras.

Moviendo con el ratón el punto rojo de la figura obtenemos infinitas variantes descentradas de la disección de Perigal.

Los cuatro cuadriláteros sobre el cateto mayor se mueven al cuadrado sobre la hipotenusa mediante traslaciones representadas por cuatro vectores desde el punto rojo a los vértices de ese cuadrado.

Si se mueve el punto azul, el punto rojo se coloca en el centro del cuadrado sobre el cateto mayor, mostrando la disección centrada de Perigal.

Figura construida con Jsxgraph

Teorema de la cuerda universal

Publicado el 28/11/2016 by fede

Si una curva (azul) tiene una cuerda CD, la curva (roja) que resulta de aplicar a la curva original (azul) la traslación definida por el vector CD corta a la curva original en el punto D.

Por tanto no existen cuerdas en la curva original iguales al vector que define una traslación si y solo si la curva trasladada y la curva original no tienen ningún punto en común.

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Teoremas de Barbier

Publicado el 06/11/2016 by fede

Demostramos aquí el teorema del hilo de Barbier, usado en la entrada anterior, y obtenemos como corolario el teorema de Barbier sobre curvas de ancho constante.

Preparamos el escenario dibujando en un plano base una figura cualquiera (en la ilustración una circunferencia) y obteniendo las imágenes que resultan de trasladarla repetidamente en dos direcciones perpendiculares la misma distancia.

Tomamos como unidad de longitud esa distancia de traslación, que en la ilustración es el lado de un cuadrado trazado con lineas de puntos. Las figuras contenidas en cada uno de esos cuadrados 1×1 son iguales.
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La aguja de Buffon y el hilo de Barbier

Publicado el 02/11/2016 by fede

Aquí tenemos un simulador en Javascript, ilustrado con Jsxgraph, para el juego de Cramer-Buffon, que consiste en tirar al azar figuras geométricas sobre un suelo pavimentado regularmente y contar las intersecciones con la figura del suelo.

Tirar veces o

Longitud figura

(o deslizador)

Parámetros:

B =

F =

Resultados:

T =

I =

2·B·F·T / I =

≈ π

El programa coloca una figura con centro en un punto tomado al azar (en un cuadrado 1×1) y situada con una dirección al azar, y calcula el número de intersecciones de esa figura con la pauta dibujada en el plano base, que en el caso del recuadro de arriba son lineas paralelas o cuadrados (de tamaño 1×1).

La clave del asunto está en que el número medio de intersecciones por tirada, cuando el número de tiradas tiende a infinito, no depende de la forma de la figura que se tira sino solo de su longitud, es decir de la suma de las longitudes de las rectas y curvas que la componen.

Con lo que podemos tirar un hilo flexible de longitud determinada, que al caer tomará cada vez una figura diferente, y el número medio de intersecciones a largo plazo será el mismo que al lanzar un segmento de recta o una circunferencia de la misma longitud.

También la pauta dibujada en el plano base puede variar arbitrariamente en cada tirada, siempre que en cada ‘cuadrado 1×1′, repetido en el plano base, la longitud de las rectas y curvas que contiene sea la misma en diferentes tiradas.

Estos hechos fueron publicados por Joseph Emile Barbier, alumno de l’Ecole Normale, en 1860 en el ‘Journal de Liouville’:

(Barbier, E. Note sur le problème de l’aiguille et le jeu du joint couvert.
Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 2.5 , (1860), p.279)

La fórmula de Barbier se aplica en el simulador de arriba para estimar pi, y su demostración merecerá otra entrada.

Esta entrada participa en la Edición 7.7 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Los Matemáticos no son gente seria.

El ‘jeu du franc-carreau’

Publicado el 30/10/2016 by fede

Unas citas para la historia del problema de la aguja de Buffon.

Carta de Cramer a Stirling 22 febrero 1732
He aquí un problema que me ha ocupado los últimos días, y que quizá será del gusto del Sr. De Moivre. Puede que no conozcais el que en francés llamamos el ‘jeu du franc carreau’ (juego de la baldosa franca).
En una habitación pavimentada con baldosas, se lanza al aire un escudo. Si cae sobre una sola baldosa, se dice que cae franco, y el que lo lanzó gana. Si cae sobre dos o más baldosas, es decir, si cae sobre la raya que separa las baldosas, el que lo lanzó pierde.
Un problema a resolver que no tiene ninguna dificultad es encontrar la probabilidad de ganar o perder, dadas las baldosas y la moneda.
Pero si en lugar de tirar al aire un escudo redondo, se tira una moneda cuadrada el problema me ha parecido bastante difícil, bien porque lo sea por naturaleza, bien porque la vía por la que lo he resuelto no sea la mejor.
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Polinomios de Vieta (y 3)

Publicado el 26/10/2016 by fede

Después de los polinomios de primera y segunda especie, presentamos la tercera familia de polinomios de Vieta, que es una alteración de la primera.

Teorema VIII.
Este teorema enuncia el caso en que tomamos la diferencia entre las cuerdas en el teorema del ‘invariante de Vieta’, por el que , en la figura, $\dfrac{H_1}{OC} = \dfrac{2H_1}{B_0} = \dfrac{B_0-B_2}{H_1} = \dfrac{H_3-H_1}{B_2} = \ldots$

Teorema IX.
Si $x = \dfrac{H_1}{OC}$ , de $x=\dfrac{H_{n+1} -H_{n-1}}{B_n}$ , con n par, resulta $H_{n+1} = xB_n + H_{n-1}$ , y de $x=\dfrac{B_{n-1} -B_{n+1}}{H_n}$ , con n impar, $B_{n+1}= -xH_n + B_{n-1}$ .
Entonces si la secuencia $W_0, W_1, W_2, W_3, \ldots$ es la secuencia $B_0, H_1, B_2, H_3$ , tenemos, si el radio $OC = 1$ , $W_0=B_0=2, \ W_1=H_1=x$ , y $W_n = (-1)^{n-1} x W_{n-1} + W_{n-2}, \ n \ge 2$ . De donde resulta $W_2 = 2-x^2$ , $W_3 = 3x-x^3$ , y la tabla de polinomios siguiente (1615, $N=x, Q=x^2, C=x^3$ ):

Si llamamos $W_n(x)$ a estos polinomios, y $V_n(x)$ a los polinomios de Vieta de primera especie, es fácil demostrar a partir de sus leyes de formación que $W_n(x) = (-1)^{\lfloor n/2 \rfloor} V_n(x)$ , y por tanto
$W_n(x) = \displaystyle \sum_{k \ge 0} (-1)^{k+\lfloor n/2 \rfloor}\cdot \dfrac{n}{n-k} \dbinom{n-k}{k} \cdot x^{n-2k}$ .

Si $\alpha=\angle CPC_1$ , y el radio de la circunferencia es 1, $x = H_1= 2 \sin \alpha$ , $B_2 = 2 \cos 2 \alpha$ , $H_3 = 2 \sin 3 \alpha, \ldots$

Entonces, si n es impar, $H_n= 2\sin n\alpha = W_n(2 \sin \alpha)$ , y si n es par, $B_n = 2 \cos n\alpha= W_n(2 \sin \alpha)$ .
Y como $W_n(x) = (-1)^{\lfloor n/2 \rfloor} V_n(x)$ , y los polinomios $T_n(x)$ de Chebyshev de primera especie son $T_n(x) = V_n(2x)/2$ , tenemos si n es impar, $\sin n \alpha = (-1)^{\lfloor n/2 \rfloor} T_n(\sin \alpha)$ , y si n es par $\cos n \alpha = (-1)^{n/2} T_n(\sin \alpha)$ .

Se demostró en la entrada anterior que, para todo n, $T_n(\cos \alpha) = \cos n \alpha$ . Las identidades anteriores nos dicen como cambia el valor de $T_n(\cos \alpha)$ si cambiamos ‘cos’ por ‘sin’:
Si $n = 4k, \ T_n(\sin \alpha) = T_n(\cos \alpha) = \cos n \alpha$
Si $n = 4k+2, \ T_n(\sin \alpha) = -T_n(\cos \alpha) = - \cos n \alpha$
Si $n = 4k+1, \ T_n(\sin \alpha) = \sin n \alpha$
Si $n = 4k+3, \ T_n(\sin \alpha) = -\sin n \alpha$

Polinomios de Vieta (2)

Publicado el 25/10/2016 by fede

En la entrada anterior presentamos los polinomios de Vieta de segunda especie.
Aquí tratamos paralelamente los polinomios de Vieta de primera especie.

Teorema V.
En la figura tenemos puntos en una circunferencia tales que $arco \ CC_1 = arco \ C_1C_2 = \ldots$ , y $PC$ es un diámetro.
Entonces, por el teorema del ‘invariante de Vieta’, $\dfrac{2PC_1}{PC} =\dfrac{PC_2+PC}{PC_1} = \dfrac{PC_3 + PC_1}{PC_2} = \dfrac{PC_4 + PC_2}{PC_3} = \ldots$

Teorema VI.
De donde, si $x =\dfrac{2PC_1}{PC} = \dfrac{PC_1}{OC}$ , resulta que $PC_{i+1} = xPC_{i} - PC_{i-1}$ , y por tanto si $OC=1$ , tenemos $PC=2, \ PC_1=x, \ PC_2= x^2-2, \ PC_3=x^3-3x, \ldots$

O, escribiendo $N=x, \ Q=x^2, \ C=x^3$ , tenemos la lista de polinomios impresa en 1615:

Si llamamos a estos polinomios $V_n(x)$ , de forma que $V_0(x)=2, V_1(x) = x$ y $V_n(x) = xV_{n-1}(x) - V_{n-2}(x)$ , resulta que si $T_n(x)$ son los polinomios de Chebyshev de primera especie, $T_n(x) = V_n(2x)/2$ .
Este es un motivo para llamar ‘de primera especie’ a estos polinomios de Vieta, pero el principal es que es la primera familia que presenta Vieta.

No es difícil demostrar que $V_n(x) = \displaystyle \sum_{k \ge 0} (-1)^k\cdot v_{n,k}\cdot x^{n-2k}$ , donde $v_{n,k} = \dbinom{n-k+1}{k}- \dbinom{n-k-1}{k-2} = \dfrac{n (n-k-1)!}{k!(n-2k)!} = \dfrac{n}{n-k} \dbinom{n-k}{k}$

Si $\alpha = \angle CPC_1$ , y el radio $OC$ de la circunferencia es 1, $PC_1 = 2 \cos \alpha, PC_2 = 2 \cos 2\alpha, PC_3= 2 \cos 3\alpha, \ldots$

Como $PC_n = V_{n}(\frac{PC_1}{OC})$ si $OC=1$ , tenemos $PC_n = 2 \cos n \alpha = \ V_{n}(2 \cos \alpha)$ .

Por tanto $\cos n \alpha = V_{n}(2 \cos \alpha)/2 = T_n( \cos \alpha)$ , que es la fórmula 43 en la entrada de MathWorld sobre las fórmulas del ángulo múltiplo. También tenemos la fórmula 35 tomando como $v_{n,k}$ una de sus expresiones.

La secuencia de los coeficientes de los polinomios $V_n(x)$ es la OEIS A127672, y los $V_n(x)$ se obtienen a partir de la ‘función primordial’ de Lucas $V_a$ con $p=x, q=1$ .

Guirnalda matemática

Sobre historia de la geometría antigua y otros temas